关于算数调和凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

作者:张天宇;王淑红 刊名:内蒙古民族大学学报(自然科学版) 上传者:张建楠

【摘要】在分析不等式中,Hermite-Hadamard型积分不等式占有重要地位.关于s-凸函数、对数凸函数等凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式已经得到并在不等式证明中广泛应用.本文利用算数调和凸函数的性质和H lder积分不等式,研究了算数调和凸函数的几个Hermite-Hadamard型积分不等式,并给出了特殊平均的一些应用.

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1引言Hermite-Hadamard积分不等式设f:IRR为凸函数,a,bI,且a1,则|fa+b2-b-aabf(x)dxb-a16q+411q|f(a)|q(q-1)+3|f(b)|q(q-1)(q-1)/q+3|f(a)|q(q-1)+|f(b)|q(q-1)(q-1)/q.(1.4)|fa+b2-1b-aabf(x)dxb-a4q+411q(|f(a)|+|f(b)|).(1.5)下面,引入算数调和平均凸函数的概念:定义1.1设f:IR+=(0,+)R+,若对任意的x,yI,[0,1],有f(x+(1-)y)()[f(x)]-1+(1-)[f(y)]-1-1(1.6)成立,则称f(x)为区间I上的算数调和凸函数.本文研究了算数调和凸函数的Hermite-Hadamard型不等式,得到几个结果,并给出了若干个应用.利用分部积分法,可证得引理1.1设f:IRR为I上的二阶可微函数,a,bI,满足a0.(2.2)证因|f(x)|q为区间[a,b]上的算数调和凸函数,由引理1.1和Hlder积分不等式得|1b-aabf(x)dx-fa+b2(b-a)216(01t2||f()ta+2b+(1-t)adt+01(1-t)2||f()tb+(1-t)a+2bdt(b-a)21601t2dt1-1/q01t2|f(ta+2b+(1-t)a)|qdt1q+(b1-6a)201(1-t)2dt1-1/q01(1-t)2|f(tb+(1-t)a+2b)|qdt1q(b-a)216131-1/q01t2dtt||f(a+2b)-q+(1-t)|f(a)|-q1q+01(1-t)2dtt|f(b)|-q+(1-t)||f(a+2b)-q1q=(b-a)216131-1/qytM(|f(a)|q,|f(a+2b)|q)1q+M(|f(b)|q,|f(a+2b)|q)1q.故不等式(2.1)成立.证毕.定理2.2设f:IR+R+为I上的二阶可微函数,a,bI且a1,则|1b-aabf(x)dx-f(a+2b)(b-a)216q-13q-11-1/qytM(|f(a)|q,|f(a+2b)|q)1q+M(|f(b)|q,|f(a+2b)|q)1q.(2.3)其中N(u,v)=uv(lnu-lnv)u-v,uv,u/2,u=v,u,v>0.(2.4)证因|f(x)|q为区间[a,b]上的算数调和凸函数,由引理1.1和Hlder积分不等式|1b-aabf(x)dx-fa+b2(b-a)1601t2q/(q-1)dt1-1/q01|f(ta+2b+(1-t)a)|qdt1q+(b-a)21601(1-t)2q/(q-1)1-1/q01|f(tb+(1-t)a+2b)|qdt1q(b-a)216q-13q-11-1/q01t||f(a+2b)-q+(1-t)|f(a)|-q-1dt1q+01t|f(b)|-q+(1-t)|f(a+2b)|-q-1dt1q=(b-a)216q-13q-11-1/qytN(|f(a)|q,|f(a+2b)|q)1q+N(|f(b)|q,|f(a+2b)|q)1q.故不等式(2.3)成立.证毕.3特殊平均的应用设a,b>0,正数a,b的算术平均、对数平均和广义对数平均分别记作A(a,b)=a+b2,L(a,b)=b-alnb-lna,ab,Lp(a,b)=bp+1-ap+1(p+1)(b-a)1p,ab,pR,p0,-1.设f(x)=x2-s(2-s)(1-s),x(0,+),00,sq<1时,显然函数|f(x)|=1/xs为R+上的凹函数.有(

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