立方s-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式

作者:宝音特古斯;刘海磊;高丹丹;双叶; 刊名:内蒙古民族大学学报(自然科学版) 上传者:杨宗强

【摘要】凸函数的重要性及应用价值已经众所周知,尤其在一些不等式的研究和应用中,凸函数发挥着重要作用.本文定义了立方s-凸函数的概念,并研究了立方s-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式,得到了若干个结果.

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凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式的研究具有重要理论意义和广泛的应用.多年以来,Hermite-Hadamard型积分不等式被广泛推广,得到了许多优美的结果. 定义1设f:I?R→R,若对任意的x,y∈I和任意的t∈[0,1,]有 则称f为I上的凸(凹)函数. Hermite-Hadamard型积分不等式是凸函数的性质之一,且凸函数Hermite-Hadamard型不等式的研究已从经典凸函数扩展到许多广义类型的凸函数上,下面我们建立立方s-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式. 定义2[1-2]设f:I?R→R,s∈[0,1]若,对任意的x,y∈I,t∈[0,1],有 则称f为I上的s-凸函数. 文献[3]引进了对数s-凸函数概念: 定义3[3]设f:I?R→R+=(0,+∞),若对任意的x,y∈I和t∈[0,1和]某s∈(0,1,]有 f(tx+(1-t))≤(≥)[f(x)]ts[,f(y)](1-t)s 则称f为I上的对数s-凸(凹)函数. 文献[4]定义了广义s-凸函数的概念: 定义4[4]设f:I?R→R,s∈[-1,1,]若对任意的x,y∈I和t∈(0,1,)有 f(tx+(1-t)y)≤tsf(x)+(1-,t)sf(y) 则称f为I上的s-凸函数. 定义5[5]设I?R为区间,f:I→R0=[0,∞)若,对任意的x,y∈I,t∈[0,1],有 f(tx2+(1-t)y2)≤(≥)tf2(x)+(1-,t)f2(y) 则称f为I上的平方凸(凹)函数. 定义6[6]设s∈(0,1]f,:I→R0,若对任意的x1,x2∈I,任意的t∈[0,1],有 f(tx12+(1-t)x22)≤(≥)tsf 2(x1)+(1-t),sf 2(x2) 则称f为I上的平方s-凸(凹)函数. 定理1[7]设s∈(0,1]f,:I?R→R0是s-凸(凹)函数,a,b∈I,a<b,且f∈L1([a,b,]则) 2 s-1f(2a+b)≤(≥)1b-a∫abf(x)dx≤(≥)sf(a)+.+1f(b) 定理2[6]设s∈(0,1]f,:I?R→R0为平方s-凸(凹)函数,a,b∈I,a<b,且f2∈L1([a,b,]则) 2 s-1f 2( 2)≤(≥)b2-2 a2∫abxf 2(x)dx≤(≥)f 2(a s)++.1f2(b)a2+b2 相关的研究结果见文献[8-14]. 现在,我们引进立方s-凸(凹)函数概念: 定义7设区间I?R,f:I?R→R,若对任意的x1,x2∈I和任意的t∈[0,1],有 ?f( 3 tx13+(1-t)x23)≤(≥)3 tf3(x1)+(1-t)f3(x2), 则称f为I上的立方凸(凹)函数. 定义8设区间I?R,s∈[-1,1,]f:I→R,若对任意的x1,x2∈I和任意的t∈(0,1),有 ?f( 3 tx13+(1-t)x23)≤(≥)3 tsf 3(x1)+(1-t)sf 3(x2), 则称f为I上的立方s-凸(凹)函数. 引理1设[a,b]?Rs,∈[-1,1,]s≠0,f:[min{a,a3},max{b,b3}]→,则R f为[a,b上]的立方s-凸(凹)函数的充要条件是函数f3(3x)为[a3,b3]上的s-凸(凹)函数. 证由定义7可得结论.证毕.由定义7和引理1可得 引理2设区间[a,b]?R\{s0∈}[,-1,1,]s≠0,f:[min{a,b-3},max{b,a-3}]→,则R f为[a,b

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