一类具有两种功能性反应的三种群时滞食物链模型

作者:李会; 刊名:宿州学院学报 上传者:田卡

【摘要】研究一类三种群时滞食物链模型。中层捕食者种群以Holling-IV类功能性反应函数捕食食饵种群,顶层捕食者种群以Beddington-De Angelis功能性反应函数捕食中层捕食者种群。以模型中食饵种群的消极负反馈时滞为分岔参数,利用特征值方法,给出模型局部渐近稳定和产生Hopf分岔的充分条件。最后,给出仿真示例,对所得结果进行验证。

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1相关研究与问题提出食饵种群和捕食者种群之间的关系,是生物动力学以及应用数学领域中的一个非常重要的研究课题。尤其是描述多种群之间动力学行为的多种群捕食系统模型,近年来受到国内外学者的广泛关注,如食物链[1-3]、竞争模型[4]、互惠模型[5]以及具有阶段结构的捕食系统模型[6-8]等。最近,Agrawal等[9]提出了下列具有时滞的食物链模型:dx(t)dt=x(t)a11-x(t)()K-εy(t)x2(t)j+x(t)[]+ady(t)dt=y(t)-a2+ε1x(t-τ)x2(t-τ)j+x(t-τ)+a-ε2z(t)y(t)+γ+βz(t[])dz(t)dt=z(t)cz(t)-ε3z(t)y(t)[]???????????+D(1)其中,x(t),y(t)和z(t)分别表示食饵种群、中层捕食者种群和顶层捕食者种群在时刻t的数量。a1,K,j,a,ε,a2,ε1,ε2,β,γ,ε3,c和D为模型(1)的参数,它们均为正常数。a1为食饵种群的内禀增长率,K为食饵种群的环境容纳量,j为中层捕食者种群对食饵种群的忍耐程度,a2为中层捕食者种群的死亡率,ε1/ε表示食饵种群和中层捕食者种群之间的作用系数,a为半饱和常数,ε2为顶层捕食者种群对中层捕食者种群的捕食系数,β表示顶层捕食者种群之间的干扰程度,γ为环境对中层捕食者种群提供的保护程度,ε3表示顶层捕食者种群的最大去除率,c表示顶层捕食者种群由于有性繁殖导致的增长率,D表示由于食物的短缺所造成的顶层捕食者种群的损失情况。τ表示中层捕食者种群的妊娠时滞。Agrawal等[9]研究了妊娠时滞τ对模型(1)的影响。受文献[9]启发,并考虑到食饵种群的消极负反馈时滞,本文考虑模型(1)的另外一种时滞形式:dx(t)dt=x(t)a11-x(t-τ)()K-εy(t)x2(t)j+x(t)[]+ady(t)dt=y(t)-a2+ε1x(t)x2(t)j+x(t)+a-ε2z(t)y(t)+γ+βz(t[])dz(t)dt=z(t)cz(t)-ε3z(t)y(t)[]???????????+D(2)其中,τ为食饵种群的消极负反馈时滞。2 Hopf分岔存在性根据文献[9]的分析可知,如果K>x*,ε3>c D,且εKj(ε3-c D)ca1<ja K,则模型(2)具有正平衡点E*(x*,y*,z*),其中,y*=ε3-c Dcz*=(y*+γ)[ε1a1x*Kεy*(K-x*)-a2]ε2-β[ε1a1x*Kεy*(K-x*)-a2]x*是下列方程的正根。x3+(j-K)x2+j(a-K)x+jε(ε3-c D)ca1-ja K=0(3)模型(2)在正平衡点E*(x*,y*,z*)处的特征方程为:λ3+U2λ2+U1λ+U0+(V2λ2+V1λ+V0)e-λτ=0(4)其中,U0=a11a23a32,U1=a11a22-a12a21+a23a32U2=-(a11+a22)V0=a23a32b11,V1=a22b11,V2=-b11a11=εx*y*(x2*j+1)(x2*j+x*+a)2,a12=-εx*(x2*j+x*+a)2,a21=εy*(a1-x2*j)(x2*j+x*+a)2,a22=-ε2z*(βz*+γ)(y*+βz*+γ)2,a23=-ε2y*(y*+γ)(y*+βz*+γ)2,a32=ε3z2*(y*+D)2,b11=-a1x*K因此,如果条件(H1)成立,即:U2+V2>0,(U2+V2)(U1+V1)>U0+V0成立,则正平衡点E*(x*,y*,z*)是局部渐近稳定的。当τ>0时,令

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