2012年高考广东卷理科数学压轴题分析

作者:何小亚 刊名:中学数学月刊 上传者:黄华

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· 46 · 中学数学 月刊 2013年第 2期 2012年高考广东卷理科数学压轴题分析 何小亚 (华南师范大学数学科 学学院 510631) 今年,笔者有幸负责广东高考数学理科卷压 轴题 2O题 的 阅卷 工作 .下面 就答卷 中反 映出的一 些 问题进行 分析 ,以供 广大 的一线数 学教师参 考 . 1 原 题 展 示 (本小 题满 分 14分)在平 面直角 坐标 系 xOy 中,已知椭圆C: 十 一1(n>b> 0)的离心率 e 一 √号,且椭圆c上的点到点Q(o,2)的距离的 最 大值 为 3. (1)求 椭 圆 C的方程 ; (2)在 椭 圆 C上 ,是否存 在点 M (m, ),使 得 直线 Z:mx 4-ny一1与 圆 0: 4-y。一1相交 于不 同的两 点 A,B,且 △ OAB 的面 积最 大?若 存 在 , 求 出点 M 的坐标 及 对应 的 △ OAB 的面 积 ;若 不 存在 ,请说明理由. 2 解 法分析 2.1 第 1问的解 法 因为e=√ 一詈一 ,所以n2—36。, 即椭 圆 C的方程 为 x z十 yZ=1 . 设 P(z, )为椭 圆 C上 任意 给定 的一点 ,则 PQ 一 。4- ( 一 2) 一 一 2( +1) 4-64-3b ≤ 6+3b。,Y∈[一b,6]. 方 法 1 1)若 一1<一b,则 0< b< 1,此 时 当 ===一b时 ,PQ 一9,即 一 26 +46+ 36。+ 4 — 9,由此得 b一一5或 b一 1(不合题 意 ,舍 去 ). 2)若 一b≤一1,则 b≥ 1,此时当Y一一1时, PQ 一9,解 得 b 一1,a。一3. 方法 2 由题设存 在点 P 满足 P Q=3,则 9 一 P Q ≤ 6+ 3b。,故 b≥ 1. 当 b≥ 1时,由于 y一一1∈ [一b,6]时 ,PQ。 取 得最 大值 6+3b。,故 6+ 3b 一9,解得 b。一1,a。 一 3. 因此 ,所求椭 圆 C的方 程为 + y。一1. 2.2 第 2问的解 法 第 2问 的各 种解法 的区别 本质 上是 面积 的表 达式与求最值的方法的区别. 方法1 假设点M( , )存在,则有等+” = 1①.设 圆 心 到 直 线 z的 距 离 为 d,则 d一 _l_二 < 1,即 + > 1. / 2 I 2 V 1- y.N N AB一2√1一 牟 ,所以5△rMe一 1 AB · 一 √ 1 1 1 )≤ 1.当且 仅当 三二 一1一 ,即 。+n2—2②时, 等号成 立. 由 ①② 解 得 ===± 一 ± ,于是所求 的 点的坐标是 ( , 5-), ( ,一 ), (一 2, ),(一 ,一 ).此时对应的诸三角 形的面积均达到最大值 . 方法 2 假设点 M(m, )存在 ,则有 + z 一 1.设 圆一c,N i~线 的距 离 为 d,则 d一 √ m 。十 ” < 1,即 m + ” > 1. 因为(等)。一1一 ,所以AB一2~/ , 于是 s△ 一 AB · 一 、/ _ · 一 二 ≤L二 主『二±二_ 一 1.当且仅当1一 d。一 。,即 2d 一1时等 号成立 ,故 m 4-”。一2.(下 同方 法 1) 方法 3 设 ,~AOB—a,S△ B一一 1× 1。× sin .当 sin a一 1,即 a一90。时 ,s⋯ 一 1 . 此 时 , 点 0到 直 线 AB 的距 离 d===OB COS 45。.而 d一 _ 二 一 ,由此得 m 2 4- z一2.(下 同方法 1)

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