探究单摆周期与摆角的误差关系

作者:张安伦 刊名:山西青年(下半月) 上传者:董姣

【摘要】讨论了单摆实验中摆角与周期误差的关系,发现θ≤7°与θ≤5°时周期误差范围在同一个数量级,且单摆摆角的取值与周期误差存在着对应的关系。这些讨论能够加深学生理解该实验的理论背景,对指导该实验教学有一定的意义。

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山西青年 教 学探 讨 探究单摆周期与摆角的误差关系 张安伦 402560 重庆市铜梁县铜 梁中学校 摘 要 :讨论了单摆实验中摆角与周期误差的关系,发现 e≤7。与 0≤5。时周期误差范围在同一个数量级,且单摆摆角的取值与周期误 差存在着对应的关系。这些讨论能够加深学生理解该实验的理论背景, 对指导该实验教学有一定的意义。 关键词:误差;单摆周期;摆角;取值范围 在现行 中学教材 中。关于单摆实验有如下叙述:作用在小球 上的切 向力的大小为mgSin 0,它总是指 向平衡位置 ,当 e角很 小时,~Usin e e,切向力的大小为mg e。上述内容提到 e角很 小 ,做sin e e的近似处理。很多教材和期刊把 “e角很小”理解 为 e<5。。当 0>5。时,得到的单摆周期是否一定有一个很大的误 差呢?本文对此进行讨论。 只考虑角位移 0对单摆周期的影响。如图 (1)所示 ,设某一 时刻,摆球偏离铅垂线的角位移为e,并规定摆球在平衡位置右边 时,0为正 ,此时重J3G对A点的力矩为M =一mglsin e(负号表示 力矩的方向垂直纸面向里。与所假设的正方向相反 ),拉力T对A点 的力矩为MT=0。则合力矩为M=MG+MT=一mgIsi rl 19,由转动定理 [1],得: =一 sin ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1) T 图1单摆摆动示意图 J表示摆球对悬点A的转动惯量,将J=mI 代入 (1】式 ,有: +导si ⋯0⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(2) , 、 (2)式与教材中运用牛顿第二定律推导的结果一致。将sin e 展开成 e的幂级数[2]: sin = 一 + ⋯ -+(_1) ~2n+l +..· (2)式变为 + + 川 =。 可以解出单摆的振动周期为: ;+ + + 2 2n掣)s ⋯⋯. f1·⋯ 2 、 (3)式为单摆周期的理论精确值 ,显然单摆的振动周期是与 最大摆角有关的函数 ,并且不是线性函数,严格地说,单摆振动周 期随着最大摆角的增大而增大,并且随着最大摆角的增加,其振动 周期将增加得更快。由此可知中学物理教材中 “在振幅很小的条件 下 ,单摆的振动周期与振幅没有关系” (单摆具有等时性 )的结论 是近似的,而教材中 “单摆的振动周期与摆球的质量没有关系”的 结论是严密的,这一点从 (3)式是显而易见的。既然单摆周期和 最大摆角有关,为了使摆角对周期的影响足够小 。从而可以忽略不 计 ,最大摆角应该取一个较小的值。将 (3)式与常用的周期公 式- 相比较发现理论精确周期要约大一些 ,这实际反映了我们实验 运用的周期值比理论精确值要约小一些,会造成实验测得的重力加 速度值比真实值要约大一些。 (3)式忽略三阶以上小项 ,有 : 1 口 0 = 2n-.f (1+Lsin +(二)2 sin ) V g 4 2 8 2 设T相对T0的相对误差为KT,则: = ×10。% 设 @=1+1/4sin 0/2+(3/8) sin 0/2。 e,@。K 之间的关系 如表1所示: 表1摆角对周期误差的影响 上表可见: e取任何值时都存在相对误差 (当0=0。时,没有 相对误差 ,但0。是没有摆动的情况 )。当 0≤7。时,相对误差K 都在同一数量级 (K <0 093% ),当3。≤ 0≤5。时 ,相对误差增加 了O 03% (记为K =0.03% ) ;当5。≤ e≤7。时。相对误差增 加了0.046% (记为K 7=0.046% ),比较K¨5和K5_+7,发现二者相 差很小,说明最大摆角的取值在5。左右变化时,单摆的周期受最 大摆角的影响

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