用多面体逼近球体及其在工业设计中的应用

作者:黄穗;韩春明 刊名:图学学报 上传者:朱云利

【摘要】球体是工业设计中常用的造型语言,但由于某些需要或限制,往往采用多面体来近似表示球体。文章提出了用多面体逼近球体效果的评判标准和改进方法,以及多面体对球体的逼近在工业设计中的应用,最后以实例加以说明。

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多面体具有丰富的几何表现力,在人类的生产生活中具有广泛的应用,如图1所示。因此,关于多面体的各种研究也在广泛开展,探讨多面体的构成[1-2],以及其在装潢[3],机械加工[4],包装[5-6],服装[7-8],三维人体建模[9],建筑[10],地质[11],化学[12]等方面的应用。无论是在建筑设计、产品设计、雕塑创作还是其他艺术设计中,球体是经常被运用的设计元素。但由于受到材质、工艺、技术、成本、视觉效果等诸多因素影响,现实中的球体造型往往用多面体来代替,如图2所示。图3是计算机辅助设计中常用的两种用来表示球面的网格,其实也是多面体对球体的逼近。目前,对多面体表示球体的方法已有大量讨论和研究,比如采用切割、变形等多种几何方法使多面体逐渐达到近似球体的效果[13]。在此基础上,本文提出了用多面体逼近球体的评判准则,以及在这些准则下改进逼近效果的方法。最后以实例说明多面体逼近球体在工业设计中的应用。(a)B2轰炸机(b)切割钻石图1多面体造型示例图2用多面体构建的球形建筑和产品1多面体逼近球体的评判准则用多面体逼近球体,即是用多边型构成的封闭表面去近似地表示球面。球面是距空间一定点为等长的所有点构成的光滑的凸起封闭曲面,此曲面上任何一点与其它点的地位都是平等的,因此很自然地对逼近它的多面体有如下规则:1)每个顶点处的多面角的各平面角之和小于360,但越接近于360越好;2)每条棱处的二面角小于180,但越接近于180越好;3)有外接球面,即各顶点共球面;4)有内切球面,即各个面与同一球面相切;5)各顶点在空间分布得尽量均匀,因此各面尽可能为正多边形,且各面的面积差别越小越好;6)多面体表面各点到被逼近球体的球心的距离越接近越好,即表面上点离中心最远的距离与最近的距离之比(姑且称之为远近比)越接近于1越好。如外接球面和内切球面都存在,则它们的半径越接近越好,且要求尽量共心;7)顶点、面和棱尽量少,以降低建造成本,增加结构强度。以上规则反映了球面的特性,例如规则1),既体现了球面的弯曲性质,又对其光滑性作了要求。若各平面角之和等于360,则组成此多面角的各面或其中部分面共面,于是此多面角的各棱或部分棱就成为多余。而各平面角之和越接近于360,则多面体的表面就越光滑。规则2)也是如此。上述规则未必都能满足,但满足得越多越好。例如,在现实中有些逼近球体效果很好的多面体,其外接球面和内切球面未必同时存在,图3中的两种网格就是,后面还会用其它实例说明。而且各规则未必都能被同时兼顾,例如规则7)和前几条,应根据具体情况综合权衡。图3计算机辅助设计球面的两种常用表示方法2改进逼近效果的方法对已有的近似于球体的多面体,一般常用以下两种方法对其逼近效果加以改进:1)削去顶点,形成一新的多边形面,其边数等于原顶点处多面角的面数,如图4所示,削去顶点A后,形成新的四边形面BCDE。图4削去多面体的顶点用初等几何的方法即可证明,在新多边形各顶点处的多面角,其各平面角之和都大于被削顶点处各平面角之和。这是对规则1)的逼近效果的改进。多面体表面到被逼近球体的球心距离最远的点在顶点处,因此削去顶点后,多面体表面各点到球心的距离更加接近。这是对规则6)的逼近效果的改进。2)多面体表面各多边形向其中心收缩,则产生削去原多面体顶点和棱的效果,在原顶点处产生新的多边形面,边数与该顶点处多面角的面数相同,在原棱处产生新的四边形面。图5中,顶点A周围各面收缩后,顶点A被削去,产生了一个新的四边形(多面角A为四面角),棱AB被削去,产生一个新的四边形。图5多面体表面收缩,顶点被削去,产生新的多

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