随机环境中具有迁移的分枝过程

作者:胡杨利;艾俊勇;刘全升 刊名:湘潭大学自然科学学报 上传者:杜建铭

【摘要】引入了随机环境中具有迁移的分枝过程,讨论了该模型的马氏性、条件概率母函数和条件期望,以及各代迁移粒子数、各代单个粒子产生的后代数的条件期望的性质.

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具有迁入的分枝过程是由Kaplan(1973)引入的,Key于1987年将其推广到了随机环境的情形.我们将随机环境中具有迁入的分枝过程作了进一步的推广,使其不仅可能发生迁入,也有可能发生迁出.这就是我们即将讨论的模型,随机环境中具有迁移的分枝过程.我们讨论了这一模型的马氏性、条件概率母函数和条件期望,以及各代迁移粒子数、各代单个粒子产生的后代数的条件期望的性质,为进一步研究这类模型打下基础.设N={0,1,2,…},N+={1,2,…},Nm={-m,-m+1,…,0,1,2,…},其中m是一确定的正整数.设(,F,P)是一概率空间,(,~J)为可测空间,{{pk()},kN}、{{ak(),qr()},kN,r=-1,…,-m}是上的两族概率分布列,且对任意的,k=0kpk()0.设={n,nN}是(,F,P)上取值于的随机序列,T为的推移算子,即对nN,Tn=(n,n+1,…).定义1设{Z(n),nN}、{(in),nN,iN+}是(,F,P)上取值于N的两个随机序列,{Y(n),nN}是(,F,P)上取值于Nm的随机序列,且i)Z(0)=0,Z(n+1)=Z(n)+Y(n)i=1i(n),Z(n)+Y(n)>0,0,Z(n)+Y(n)0;(3)ii)P(i(n)=k|)=pk(n),iN+,n,kN;(4)iii)P{Y(n)=k|}=ak(n),n,kN,(5)P{Y(n)=-r|}=qr(n),r=1,2,…,m,nN;(6)iv)给定,(in),nN,iN+相互条件独立,并且,{Y(n),nN}与{Z(n),nN}、{(in),nN,iN+}条件独立则称{Z(n),nN}为随机环境中具有迁移的分枝过程.显然,对nN,Z(n)、Y(n)分别表示第n代的粒子总数和第n代迁入或迁出的粒子数目;对nN,iN+,(in)表示第n代的第i个粒子在第n+1代的后代数.对任意的nN,记E[s(in)|]=fn(s)=k=0pk(n)sk,0s1,(7)E[sY(n)|]=gn(s)=k=0ak(n)sk+mr=1qr(n)s-r,iN+,0s1.(8)1马氏性关于随机环境中马氏链已有很多深刻的结果,详见文献[6~11]及其参考文献.随机环境中分枝过程是随机环境中马氏链的一个特例,因而可借助随机环境中马氏链的理论来研究随机环境中的分枝过程.因此,对于随机环境中具有迁移的分枝过程,我们首先讨论了它的马氏性.定义2设X={Xn,nN}和={n,nN}分别是(,F,P)上取值于N和中的随机序列,若对任意的kN,i)P(X0=k|)=P(X0=k|0),ii)P(Xn+1=k|X0,…,Xn,)=P(Xn+1=k|Xn,n),nN,则称X为随机环境中马氏链.记,Fn()=(Z(0),Z(1),…,Z(n);),P(n;Z(n),k)=P(Z(n+1)=k|Z(n),n),P(*)i(n;Z(n),k)=P(Z(n+1)=k|Y(n)=i,Z(n),n),iNm,k,nN.对任意的,令P(*)i(;j,k)=r1+r2+…+rj+i=kpr1()…prj+i(),0,k,j+i>0,j+i0,j,kN,iNm,(9)P(;j,k)=i=0P(*)i(;j,k)ai()+-1i=-mP(*)i(;j,k)q-i(),j,kN.(10)定理1{Z(n),nN}是以P(;j,k)为一步转移概率的随机环境中的马氏链.证明由定义2,要证{Z(n),nN}是随机环境中的马氏链,则须证i)P(Z(0)=k|)=P(Z(0)=k|0),kN;ii)P(Z(n+1)=k|Fn(

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