关于凸函数和凹函数的幂平均不等式的一个注记

作者:裴东林 刊名:甘肃教育学院学报(自然科学版) 上传者:杨宏楼

【摘要】文 [1]讨论了凸函数和凹函数的幂平均不等式 ,在更弱的条件下 ,证明了文 [1]中的不等式

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1定义定义设()为定义在[,]上的一个下界为正的可积函数,称()为()在[,]上的次幂平均,其中()=()-1,0,()-,=0,(,)=+21,0,,=0,(,)=+1-+1(+1)(-)1,,,=.(,)和(,)分别称为正数,的次幂平均和次线幂平均.2文[1]中的主要结果定理设()是[,]上正的连续函数,且在(,)内二次可微,则(1)当()是凸函数时,对任意实数,有()0时,(+(1-))[()+(1-)()],因此有1-()10[()+(1-)()]=+1()-+1()(+1)(()-()).对上式两边1/次方得()((),()).当<0时,同理可证()((),()).如果()=()时,由式(2)知(+(1-))().于是,当>0时,(+(1-))(),由(1)得:1-()10[()]=(),对此式两边1/次方得()((),()).当<0时,同理可证()((),()).(2)当()是凸函数且1,取()=(>0),则当1时,()=是单调递增且是凸函数,而=()是凸函数,根据性质1知()是凸函数,又根据性质2得:(+2)()-()+()2,对此不等式各项1/次方得:(+2)<()<((),()).(3)当()是凹函数且1(0)时,若0<1时,用上述方法可得()是凹函数,由性质2得:(+2)()-()+()2,对此不等式各项1/次方得:((+)/2)()((),()).若<0时,同理可知()是凸函数,由性质2得(+2)()-()+()2,对此不等式各项1/次方得:(+2)()((),())(因<0,故不等式反向),总之,当1(0)时,有不等式(+2)()((),()).(4)在不等式(2)中,令0得:(+2)0()()().关于凸函数和凹函数的幂平均不等式的一个注记@裴东林$甘肃教育学院数学系!甘肃兰州730000凸函数;;凹函数;;幂平均不等式文[1]讨论了凸函数和凹函数的幂平均不等式,在更弱的条件下,证明了文[1]中的不等式[1]曹小琴.凸函数和凹函数的幂平均不等式[J].数学的实践与认识,2000,3,363366. [2]..菲赫金哥尔茨著.微积分学教程(第1卷,第1分册)[M].叶彦谦等译,北京:人民教育出版社,1956.292293. [3]孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法[M].长沙:湖南科学技术出版社,1981.244264

参考文献

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