2018年高考全国Ⅰ卷文数压轴题的多种解法

作者:黄卫民; 刊名:中学数学研究 上传者:王理申

【摘要】2018年高考文科数学21题是一道典型的不等式恒成立问题,此题型最常用方法就是转换成最值问题,但本题难点是函数表达式中含有字母系数a,直接求最值非常困难和繁琐.本文通过三种不同的方法进行转化,使问题迎刃而解.2018全国卷文数21题:已知函数f(x)=ae~xInx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a的值,并

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2018 年第 10 期 中 学数学研究 ?41? 中 , 当 n — ? +?时 / (+) — 〇 , 即 yu) 唯 一 的 极大 值 点丄 , 且/( *。 ) 一>? 丄 , 亦 即 lim/( a:。 ) = 丄. ce?—? 〇〇  然 而 , 有着高 等 数 学 背 景 的 试 题并 非 要 求 学 生 要 不 断补充未 学 的 知 识 , 命题 人更 想 看 到 的 是 学 生的 “ 中 学表达 ” , 即 利 用 中 学 所 学 的 知 识 来 解决新 的问 题 , 这也是高校选拔优秀人才 的 一 个标准. 3 . 3立足基灿 , 回味无 穷 本题简 洁 大 方 , 清 晰 自 然 , 既 立 足于 基 础 知 识 ,考查 了 分类讨论 , 主参分离 , 数形结合等 重 要 思想 和方 法 , 又蕴含着数 学 中 直 观 与 深 刻 的 含义 . 如 第 ( 2 )问 中 确 定 函 数 唯 一 的 极 大 值 点 , 出 现 了 超越方 程 无法 解 出 精确 解 求之不 得 ” , 只 能 退 而 求 其 次 , 采用赋值逼近 的 办法 . 这 里 既有 函 数 与 方 程 的 数 学 思 想 , 又有不 断调 整 、 赋值 、 逼 近 的 数 学 方 法. 宏 观 上 的 数学 思 想 与 微观上 的 数学操作 结合得相得 益彰 . 同 时 ,第 ( 2 ) 问 中 要 证 明 最终 的 不 等 式 , 既 可 以 利 用 证 法 1将极大值表达为/( *。 ) = % - *〗 , 又可 以 利 用 证 法 2 将极 大值表达为 /( *。 ) =-知 识 方 法 立足基 础 , 切 入 口 宽 , 解法 多 样 , 让人 回 味无 穷 . 4. 试题反思 一 道好的 数 学试题 既 能 覆 盖 重 点 知 识 , 又 可 以提供 多 角 度 的 思 维 空 间 . 在教 学 中 , 如果能 够选择这样典型题 目 进行教 学 , 引 导 学 生 多 尝 试 、 勤 思 考 , 那么 这种试题教 学 一 定 可 以 发 挥着 更 大 的 作 用 , 教 学也会变 得高 效. 2018 年 高考全国 I 卷文数压轴题的 多 种解法江 西省 临 川 二 中 ( 344100 )黄卫 民 2018 年高考 文科数 学 21 题是 一 道典 型 的 不 等 式 恒成 立 问 题 , 此题 型 最 常 用 方 法 就是 转 换成 最值问 题 , 但本题难 点 是 函 数表达式 中 含有 字 母 系 数 a ,直接求最值非 常 困 难 和 繁 琐 ? 本文 通过 三 种 不 同 的方 法进行转化 , 使 问 题迎 刃 而解? 2018 全 国 卷 文数 21 题 : 已 知 函 数/( x )= flf - Im - 1 .( 1 ) 设 x= 2 是/( * ) 的 极值 点 , 求 a 的值 , 并求/(幻 的 单调 区 间 ; (2 ) 证 明 : 当 a> 丄 时 /U)&e 0. 解 : ( 1 ) 略 ; ( 2 ) ( 证法 一 ) 记 u( a ) - 1 , 则 u( a ) 是关 于 a 的 一 次 函 数且 e*>0 , ? ? ?u( a ) 在 ( - 00, +00) 上单调 递增 , . _ . 当 <1 多 丄 时 )/(*) = u (a ) 身e*? 丄 - lrwc-1=e* _ 1-1似 - 1 , 以 下 只 要 e 证 e* — 1- 1似 - 1 衾 0 恒成 立. 令g( % )=e*

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