《一元二次函数的零点问题初探》一文的商榷

作者:杨华 刊名:中学数学研究(华南师范大学):上半月 上传者:毛琳

【摘要】贵刊2013年7月上第27页刊登了《一元二次函数的零点问题初探》一文(下称文[1]),文[1]介绍了三种类型区间上的零点问题,笔者发现第三种类型区间,即在有限区间(a,b)或(a,b)上的零点问题中的两个例题(例6、例7)的解答值得商榷.为叙述方便,现将文[1]中的例6摘抄如下:

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32 中学数学研究 2015年第 11期(上 ) 《一元二次函数的零点问题初探》一文的商榷 广东省广州市番禺中学(511400) 杨华 贵刊 2013年 7月上第 27页刊登了《一元二次函数的零 点问题初探》一文(下称文 【1]),文 【1】介绍了三种类型区 间上的零点问题,笔者发现第三种类型区间,即在有限区间 (a,b)或 【a,b】上的零点问题中的两个例题(例 6、例7)的解 答值得商榷.为叙述方便,现将文[1】中的例 6摘抄如下: 例 已知函数 f(x)=sin。X+2aCOSX+a+1有零点,求 a的取值范围. 解 f(x)=sin。 +2aCOSX+a+1 = 一COS。 + 2aCOS +a+ 2 , 令t=COSX,设 g(t)=一t。+2at+a+2,则f(x)有零点等价 于g(t)在 【-1,1】上有零点.因为 △=4n。+4cn+2 =4[(n+ )。+ ]>。, 所以当g(t)在 (一1,1)上只有~个零点时,则 g(-1)g(1)<0, 即(1一n)(1+3a) 0,解得 n>1或a<一 ; 当g(t)在 [一1,1】上有两个零点或只有零点一1或 1时, g(一1)=0或g(1)=0,或 g(-1)<0 )<0 解得 一 ≤a≤1 - 1<a< 1 综上所述,a的取值范围为 . 上述答案是错误的,若 a= 0 时,g(t)= 一t。+2在 【-1,1】上没有 零点.为什 么会这 样 呢? 细心 的读 者仔细思考就会发现:g(t)= 一t + 2at+a+2在 (一1,1)上 只有一个零 图1 点时,则g(-1)g(1)<0这种转化不等价,也就是说 g(t)= 一 +2at+a+2在 (一1,1)上只有一个零点时,不一定有 g(一1)g(1)<0成立.如图1,函数g(t)=-t +2at-4-a-4-2在 (一1,1)上只有一个零点,但是g(一1)g(1)=0,为什么会这样 呢?我们还是从零点定理说起,人教A版数学必修 1第 88页 指出,一般地,我们有: 如果函数Y=f(x)在区间【a,b】上的图像是连续不断的 ~ 条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么函数Y=f(x)在区间 (口,b)内有零点.即存在C∈(a, ),使得f(c)=0,这个C也就 是方程f(x)=0的根. 由零点定理可以看出:g(-1)g(11<0是二次函数 g(t): 一t +2at+a+2在 (一1,1)上只有一个零点的充 分条件,不是必要条件,文 【1】的作者是把充分条件当作充要 条件.二次函数g(t)=一t。+2at-4-日-4-2在(一1,1)上只有一 个零点的充要条件是什么呢? 二次函数g(t)=一t +2at+a+2在 (一1,1)上只有一 个零点的充要条件是:g(一1)g(1)<0,或{△=o’ 或 I一1< <1; {g(-1)=o’ 或{g(i)=0’ 所以,文[1】中的例6的正 【 一 l<以<0; 【0<口<1· 确答案是a≤一妄或口≥1. 一 般地,二次 函数 f(x)= 口 +bx+C > 0) 在 有 限 的 开 区间 ( ,n)(m < )上 只有 一 个 零 点 f A:0, 的充要条件是:f(m)f(n)<0,或{ b 或 【m<一 < { m+ 或{ 6 【m< 一 <下 ; I T 一 < 二次函数f(x)=ax。+bx+c(a>0)在有限的开区间 ,n)(m<n)上有两个零点的充要条件是:

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