单摆摆角与周期误差的关系

作者:吴华平 刊名:读写算:教育导刊 上传者:徐政华

【摘要】讨论了单摆实验中摆角与周期误差的关系,发现θ≤7°与θ≤5°时周期误差范围在同一个数量级,且单摆摆角的取值与周期误差存在着对应的关系。这些讨论能够加深学生理解该实验的理论背景,对指导该实验教学有一定的意义。

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单摆摆角与周期误差的关系 吴华平 (南部县建兴中学,四川 南充 637305) 摘 要:讨论了单摆实验中摆角与周期误差的关系,发现 7与 ≤5o时周期误差范围在同一个数量级,且单摆摆角的取值与 周期误差存在着对应的关系。这些讨论能够加深学生理解该实验的理论背景,对指导该实验教学有一定的意义 关键词 :误差;单摆周期;摆角;取值范围 在现行高等学校教材 《普通物理实验》 (力热学部分) 中 ,关于单 摆实验有 如下叙述 :作用在 小球上 的切 向力 的大 小 为mgsin0,它总是指 向平衡位置 ,当0角很小时 ,.~lJsin0 0,切 向力的大小为mgO。上述内容提No角很小,做sin0 的近似处理。 很多教材和期刊把 “ 角很小”理解为0 5。。当0>5o时,得到的 单摆周期是否一定有一个很大的误差呢?本文对此进行讨论。 只考虑角位移0对单摆周期的影响。如图 (1)所示,设某 一 时刻,摆球偏离铅垂线的角位移为0,并规定摆球在平衡位置 右边时, 为正,此时重力G对 A点的力矩为M。=一mglsin0(负号 表示力矩的方向垂直纸面向里,与所假设的正方 向相反),拉 力 T对 A点 的力矩 为M :0。则合 力矩 为M=M。+M =~mgl sin0, 由转动 定理 ,得 : ., ⋯ n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1) 图 1 单摆摆动示意图 表示摆球对悬点 A的转动惯量,将 : :代入 (1)式,有: d'O +墨sin0:0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..f2) ‘ f (2)式与教材中运用牛顿第二定律推导的结果一致。将 展 开成 的幂级数 : sin0⋯0 oZ+ ⋯ +f_11 — +l_ 3 1 5 1 (2n+l1 1 (2)式变为 +等(p一酉03+ ⋯叶 02n+l十一- 。 可以解出单摆的振动周期为: : (1+c 争◇ s 0 + s 0⋯⋯⋯ (3)式为单摆周期的理论精确值,显然单摆的振动周期 是与最大摆角有关的函数,并且不是线性函数,严格地说, 单摆 振动 周 期随 着最 大摆 角 的增大 而增 大 ,并且 随着 最大 摆 角的增加,其振动周期将增加得更快。由此可知中学物理教材 中 “在振幅很小的条件下,单摆的振动周期与振幅没有关系” (单摆具有等时性)的结论是近似的,而教材中 “单摆的振动 周期与摆球的质量没有关系”的结论是严密的,这一点从 (3) 式是显而易见的。既然单摆周期和最大摆角有关,为了使摆角 对周期的影响足够小,从而可以忽略不计,最大摆角应该取一 个较 小的值。将 (3)式与常用的周期公式 =2a- 相比较发现 理论精确周期要约大一些,这实际反映了我们实验运用 的周 期值比理论精确值要约小一些,会造成实验测得的重力加速 度值比真实值要约大一些。 (3)式忽略三阶以上小项,有: , :2 . (1十一1 sin2 — 0 + (三)2 sin4旦) Vg 4 2 8 2 142 设 相对 的相对误差为 ,则 : = ×1。。% 设。=1+ sin 罢+( sin 罢。 ,。, 之间的关系如表1所示 表 1摆 角对周期误差 的影 响 (。) 0 3 5 7 8 10 15 20 0 0 1 000l7 1 00047 1.00093 1 O0121 1.O0189 1.0o425 1.00754 K (%) 0 0.017 0 047 0 093 O 12l 0 189 0 425 0 754 上表可见: 取任何值时都存在相对误差 (当0=0o时,没 有 相对误 差,但0 是 没有摆 动 的情 况 )。当0≤7。,相

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