2012年高考数学湖北卷理科压轴题溯源及试题设计分析

作者:梅磊 刊名:数学通讯:教师阅读 上传者:唐老雅

【摘要】2012年高考数学湖北卷理科压轴题如下: (Ⅰ)已知函数f(x)=rx—xr+(1-r)(x〉0),其中r为有理数,且0〈r〈1.求f(x)的最小值。

全文阅读

数学通讯 一 2012年第 9期 (下半月) ·复习参考· 20 12年高考数学湖北卷理科压轴题溯源 及试题设计分析 梅 磊 (湖北省武汉市黄陂六中,430300) 善 : 口6≤ + 。.X 1 P q (工)已知函数厂( )=船一 +(一r)(z> 0),其中 为有理数,且 O<,<1.求厂(z)的最 (Il1)证明下面的不等式,并讨论等号成立的条 小值; 件: (Ⅱ)试用(I)的结果证明如下命题 : 设 al≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数.若 bl十62 =1,则 n{1口 ≤口1b1+a2b2; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用 数学归纳法证明你所推广的命题. 注:当 a为正有理数 时 ,有求导 公式 (.12a) = 0/,27a一1 . 1 追溯试题设计的背景 首先,刘玉琏的《数学分析讲义》(第三版)上册 第 6.4节“导数在研究函数上的应用”有如下 3道例 题和习题 : (工)证 明:V >0,有不等式 一配 +a一1 ≤0,0< <1. (Ⅱ)由此不等式可得重要的杨氏不等式 : 若a>0,b>O,且p>l, +专 1,则 硝1x'~2⋯za”n≤ alXl+a2./:2+⋯ +口 , 其中 Xl,z2,⋯ ,z ≥0;口1,口2,⋯,口, >0,且 a1 + n2+ ⋯ + "= 1. 可以看到原题的三问与上面的三题如出一辙. 其次 ,本题的设计背景也与 2011年高考数学湖 北卷理科压轴题遥相呼应 .试题如下 : (I)已知函数f(x)=lnx—X+1, ∈(0,4- oo),求函数f(x)的最大值 ; (II)设 a ,b^(k=1,2,⋯,,z)均为正数 ,证明 : (1)若 a1 b1+a2b2+⋯ 4-n”6 ≤b1+b2+···+ b ,则 本a ⋯nb ≤1; (2)若 b1 4-b2+⋯+b :1,贝0— ≤6{t6 ⋯皤 ≤b}4-bi+⋯+6 . 显然 ,两道压轴题最后一问的结论在形式上非 常相似.其实,它们有着共同的背景——加权均值不 等式 : 和感悟规范答题的方法和技巧 . 5.3 关注创 新 。提 升能 力 本题散发 出青春活力 ,新而不难 、新而不怪 ,这 是现代高考命题的基本特征.只有这样的试题,才能 有效地检测考生的创新能力,才能适应现代化社会 的需求.如何培养学生的创新能力呢?首先,要高度 重视它 ,要关注它 ,只有 当你对 它有感情 的时候 ,它 才会惠顾你.其次,要善于思考.在阅读教材和做练 习时,要善于归纳总结 ,要变式探究 ,只有这样 ,才能 准确的把握立体几何 的来源和本质 ,才能在应对新 颖的高考试题时得心应手,手到擒来.最后 ,要适度 寻找一些情境新颖的问题 ,从数学 的角度去发现问 题,提出问题,探索问题,只有打下扎实的基本功,才 会在解答新颖的高考试题时底气十足,牛气冲天. 由此可见,分析研究高考试题特点、他人高考中 所犯的典型错误,据此扬长避短地制定出适合自己 的有效的备考方略 ,我们的备考就会事半功倍 ! (收稿日期 :2012—06—30) · 复习参考· 数学通讯 一 2012年第9期 (下半月) 51 若 ai≥0,b >0(i 71,2,⋯, ),贝U(以{ ⋯ 南 ≤ 等 . 且p口{·日 ⋯以 ≤ () ⋯“ .b b b 、 1十 2+ ⋯ 十 ” 。’ 特别地 ,若 a ≥0,b >0(i=1,2,⋯,7z),且 b =1,贝0口{1 ·一日 ≤ 1b1+a2b2+⋯+anb . 事实上 ,2011年和 2012年两年湖北卷压轴题 就是证明加

参考文献

引证文献

问答

我要提问