简析2012年高考全国新课标理科数学卷压轴题

作者:王慧兴 刊名:试题与研究:高中文科综合 上传者:刘文彬

【摘要】2012年全国高考新课程卷压轴题的设置有:选择题(12)、填空题(16)以及解答题(21)等.压轴题的如此安排,减少了对思维受阻的考生带来的干扰,比较合适.如同历届高考试题一样,命题者注重基于中学数学边缘知识立意,但隐蔽性很好,试题很有教育性.

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解题探讨 3: 简析2 O1 2年高考全国新课标理科数学卷压轴题 河南 王慧兴 2012年全 国高考 新课 程卷乐轴 题 的设 置有 :选 择题 (12)、填空题 (16)以及解 答题(21)等.压 轴题 的 如此安排,减少了对思维受阻的考生带来的干扰,比 较合适.如同历届高考试题一样,命题者注重基于中 学数学边缘知识立意,但隐蔽性很好 ,试题很有教 育性. 1 试题(12):设点 P在}}}I线 y一寺 ex,点 Q在曲 线 v—In(2x)上 ,则 PQ1最小值为( ). (A)1— 1n2 (B) (1一In2) (C)1十1n2 (D)√ (1+ln2) 1 简析:本题 以互为反函数的 一音 e 和 Y— In(2x)为载体 ,考查学生综合运用数学知识和方法 探求 最值 的能 力 :从 两 条 曲线 关于 直线 — 对 称 与分离、搜寻最值取向,实现简化完成最值计算. 解 法一 :作 PP 上 : — 于 P ,QQ 上 于 Q , 记 J PP J—d 以及 J QQ J—d ,如图 l,点 P、Q分 离 在 直线 l: =z两侧 ,有 1 PQ1≥ {PP I+ I QQ i—d1 +d ,“一”成立 的条件是 PQ上1. / 。 一 图 1 1 . 一 一 . 令 ( )一e 一2x,则 d ( )一 e一 2,令 d ( ) 一0,得 —ln2,则 d( )在 (一一 ,ln2]上递减,在 [1n2,+。。)上递增 ,d 一e 一21n2— 2(1一ln2)> 一 一 ≥ 一 ,“。’减 立 的条 件是点 P(In2,1). 。 .。函数 一告 与Y—ln(2x)互为反函数,其 图象关 于直 线 — 对称 , . · . de≥ 二 ,“一,’成立的条件是点 Q(1,1n2). . · . IPQI≥ + ≥ .2~,/2(1一ln2), L “ 一 ”成立的条件是 P(1n2,1)以及 Q(1n2,1). 故 1PQ1 一2d 一、/2(1一ln2),选 B. 本题解答的另一个 视角是 ,找到其 中一条 曲线 上平行于直线 -y—z的切线 ,把 }PQl nll 转化为两条 平行线之间的距离按公式完成计算. 解法二:设曲线 .),一去ea上点Po( 。, )处的 切线z : 一譬=譬 .(z— 。)平行于直线 —z, 即 一 1 3Co— In2,P0(In2,1). 由互为反 函数 图象关 于直线 —z对称知 , Qo(1,ln2)在曲线 —ln(2x)上 ,且 PoQo上1. 又 曲线 — in(2x)在 点 Q 的切 线 z:Y—z+ In2— 1也 平 行 于 直 线 Y— .如 图 2,IPQ 一 P。Qo j一、仃 匝 二 干 一 (1一ln2) — 图 2 评注 :学过导数之后 ,应 自觉利用 导数方 法写出 切线方 程 :过 函数 一f(z)图象 上 一点 M (.17o, fO"。))的切线 l:yf(x )一 ( 。)(z— o);过 曲 。 解题探讨 线 C:f(x, )一O上 一点 T(x0,yo)的切线 z: 一 一 『( . )(x--xo),其中y 表示 y对z的导数. 譬如,由椭圆方程 + 一1 两边对 z求导,得 + =0,y'x= ,过其 上一 点 P( 。, ) 的切线 的斜 率就是 Y i c 一一 . 题 目精巧、凸显出几何最值的特殊求法.类似本 题的几何最值的特殊求法的试题平时高三备考中大 都有相关的训练,大多数考生应该能够直接人手.遗 憾 的是 本题却是一个 陈题 ,详 见 中学数

参考文献

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