2012年全国高考大纲卷理科压轴题的解法探究

作者:李挥 刊名:数学通讯:学生阅读 上传者:郑燕珠

【摘要】2012年全国高考大纲卷理科压轴题(第22题)为:

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· 辅教 导学 · 数学通讯—— 2Ol2年第 lO期(上半月) 9 同 的公 共 点 A(x ,y ),B(x ,y:),则 下 列 判 断 正 确 的是 ( ) (A)X1+ z2< 0,y1+ y2> 0. (B)z1+ .272> 0,y1+ y2< 0. (C) 1+ z2< 0,y1+ y2< 0. (D)z1+ z2> 0,y1+ y2> 0. (收 稿 日期 :2012— 06— 30) 2012年全国高考大纲卷理科压轴题的解法探究 李 挥 (甘肃省酒泉市肃州中学 ,735000) 2012年全 国高考 大纲卷 理科 压轴 题 (第 22 题 )为 : 题 1 函数 厂(z)一 z。一 2x一 3,定义数列 {X )如下 :z 一 2,z井。是过 两 点 P(4,5), (z , f(x ))的直线 PQ 与 X轴交点的横坐标. (I)证 明 :2≤ X < z l< 3; (1I)求数列( )的通项公式. 这道试题沿袭了近年来全 国高考大纲卷理科 压轴题 的命题风格 ,保 留了传统的 由数列 的递推 公式求通项公式 的模式 ,但在传承 中有创新 ,把利 用数学归纳法证明不等式这一知识点纳入本题的 考查 要求 之 中 ,并且 作为 第 (I)小题 出 现 ,对 学 生 的能 力 要求较 高 . 本题 是一 道 函数 、数列 、解 析 几何 与 不 等式 相 结合 的综合题 ,数列 的递推关 系式并 没有直接给 出,需要学生根据 已知条件得到. 对于第(I)小题 ,先从 函数人手,写 出直线方 程 ,从而得到交点 的横坐标 ,得到数列的递推关系 式 ,再 运用 数学 归纳 法进行 证 明 ,过程 如下 : 由题 意 可 知 ,直 线 PQ 的 方 程 为 y一 5一 二 ( 一4):::(z + 2)(z一4),令 — o, 得直线 PQ 与 轴交点的横坐标为 一 —4x n t 3, 井 一 . 下面 用数 学归 纳法证 明 :2≤ < z井。< 3. (i)当 一 1时 , 一 2, 一 一 , Z l 1_ 所 以 2≤ z1< z2< 3. (ii)假设 当 一 忌时 ,结 论成 立 ,即 2≤ z < z 1< 3.那 么 z 抖 z - X ~-I 一 一 z 抖 。 一 一 二 !二 抖 l + 2 一 一 卑 L± >0,一——————T —一 ,>’ L抖 l T 即 Xk+l< Xk-b2. . 又 一 一 4一 5 X A.+I < 4 一 十 Z抖 1十 一 3,所 以 2≤ z抖 < 抖z< 3,即当 72一 + 1时 ,结论 也成 立. 由(i)、(ii)可知 :对任意的正整数 ,2≤ X < l< 3. 对于第 (Ⅱ. )小题 ,需 要 根 据递 推 公 式 求 数列 的通 项 ,命 题人 提供 的参 考答案 是 : 由(I)及题 意得 升 一 —4x n+ 3 . 设 6 Xn 3.~lJb , 1 . 一 5+ 1 ,即去+ 10 = ,. l n D, 1 4 5( +丢),所以数列{6 +‘ 1}是首项为一百3,公 比为5的等比数列,因此 1十 1一一}·5rl,即6 一 一 ,所 以数列{ n)的通项公式为 zn — 一 3 .5"-- + 1‘ 上述解 法看 起来 很 简 洁 ,通过 转化 ,构 造 了一 个与数列(X )有关的等比数列{b +÷),化生为 熟 ,使 得 问题 迎 刃而解 ,确实 漂亮 .但 是 ,这 一解 法 的技巧性很强 ,思维跳跃性很 大,转化过程中“设 b Xn3’’

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