随机环境中的线性控制分枝链

作者:侯传志 刊名:泰山学院学报 上传者:乔琳

【摘要】 介绍了随机环境中线性控制分枝链的概念,在文献[5]的基础上,进一步讨论了母函数之间的关系;得到了随机环境中的线性控制分枝链的期望公式,介绍了方差函数的求法.

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0引言随机环境中马氏链的研究已经有几十年的历史,最初是一些特例的研究,如随机环境中的随机游动,随机环境中的分枝链等等[1].Cogburn上世纪80年代初对此主题进行了广泛深入的研究,创造性地运用了HopfMarkov链的工具,得到了诸如状态空间的分类,不变测度,遍历极限理论及中心极限定理等许多优秀的奠基性的成果[2,3].之后Orey对这一领域的研究发表了一篇特邀论文进行评论[4],特别重点地评论了Cogburn的工作,文中他也给出了一些新的结果并提出了许多问题.在文献[5]中,我们曾经引入了随机环境中线性控制分枝链的概念,并且深入讨论了各类母函数的关系,用生成母函数精确表达了其它母函数.在本文中,我们以此为基础,进一步讨论随机环境中线性控制分枝链的母函数之间的关系和其它一些基本性质.1随机环境中的控制分枝链的基本概念本文恒用N表示非负整数集,R表实数集,X=N,(,)是任意一个可测空间.令A是X上任意一个包含一切单点集{x}为元素的-代数,X=XN是乘积空间,AN是乘积-代数,类似的定义=Z,=Z.X和中的元素分别用x=(x0,x1,……)和=(……,-1,0,1,……)表示.随机转移矩阵,随机环境中的马氏链(简记为MCRE),随机变量序列关于-代数独立以及随机环境中的线性控制分枝链等一些基本概念均与文献[5]相同.本文恒设X={Xn,n=0,1,……}是随机环境中h控制的分枝链,{Y(n)k,n1,k1}为其生成随机变量族,控制函数为h(x)=Kx+Q,X0m,K,m是正整数,Q是非负整数.(1)生成随机变量Y(n)k的条件母函数为(n-1;s)=+j=0P(Ynk=j)sj;(2)本原链Xn在随机环境中的母函数为n(;s)=^+k=0P(Xn=k)sk=E(sXn)(其中n1,|s|1);(3)Xn在随机环境下的转移母函数n(,Xn-1;s)=P(Xn=k|Xn-10,)sk=E(sXn|Xn-10,)=E(sXn|Xn-1).JOURNALOFTAISHANUNIVERSITYVol.26NO.6引理11)n+1(;s)=(n;s)Qn(;(n;s)k),其中n0,|s|1;2)n+1(;s)=[Q(n;s)ni=1(Q(n-i)OK(n-i+1)O……OK(n))(s)][K(0)OK(1)O……OK(n)(s)]m.证明参见文献[5].定理11)n+1(;s)=E(n+1(;Xn,s));2)n+1(;Xn+1,s)=[(n;s)]h(Xn).证明1)由引理1可得n+1(;s)=k=0P(Xn+1=k)sk=k=0[j=0P(Xn+1=kXn=j,)P(Xn=j)]sk=j=0P(Xn=j)k=0P(Xn+1=kXn=j,)]sk=j=0P(Xn=j)n+1(,j,s)=E(n+1(;Xn,s)).2)参见文献[5].2期望函数与方差函数对于分枝过程而言,由于初始状态X0m可以看作是m各独立的初始状态为1的随机环境中的线性控制的分枝链之和,因此本文不妨设X01.以下我们记(k)(n;s)为其k阶导数.定理2设(X,)为随机环境中的线性控制的分枝链,控制函数为h(x)=Kx+Q,K,QN,n+1(;s)为Xn在随机环境中的母函数,(n;s)为Xn的生成母函数,则E(Xn+1)=Kn+1ni=1bi+Qni=0Kiij=0bn-j,其中bi=(1)(i;1),iN.证明由引理1知,n+1(;s)=Q(n;s)n(;K(n;s)),从而,(1)n+1(;s)=QQ-1(n;s)(1)(n;s)n(;K(n;s))+KQ(n;s)(1)n(

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