具马尔可夫跳变参数不确定系统基于SLQ最优控制器的鲁棒镇定

作者:包俊东;邓飞其;罗琦 刊名:内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) 上传者:杜永峰

【摘要】考虑了随机系统的最优控制器的鲁棒性问题.使用 Lyapunov方法,基于标称系统的二次最优控制器,得到了具有马尔可夫跳变参数和参数不确定性系统的鲁棒稳定性的代数判据,保持了原来对保成本权矩阵 Q和R 的不定性的要求,并给出了数据实例.

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自Kalman[1]开创了线性二次(LQ)控制问题的研究以来,40多年来,这方面的研究得到了很大的进展[2~8].近来RamiM.A.和ZhouX.Y.[2]研究了随机控制系统的线性二次(SLQ)最优控制问题,而且,对于成本权重矩阵Q和R的半正定和正定条件完全放开,Q和R可以是不定的矩阵,并且得到了相应的随机线性二次控制(SLQ)问题的随机代数Riccati方程(SARE).众所周知,无论是在理论上还是应用中,LQ控制问题是最优控制问题中的一类很重要的课题.因此,考虑最优控制器的鲁棒性,对于一个具有马尔可夫跳变参数以及参数不确定性的扰动系统来说,无论在理论上还是应用中都具有十分重要的意义.关于带有马尔可夫跳变参数系统的研究始于1960年KatsI.Ya和KrasovskiiN.N.[9]以及1961年KrasovskiiN.N.和LidskiiE.A.[10]的研究.此后,这方面的研究得到了蓬勃的发展[11~14].本文考虑RamiM.A.和ZhouX.Y.[2]所给出的随机线性二次最优控制器的鲁棒性问题,将证明基于标称的SLQ得到的最优控制器具有鲁棒性,可以镇定具马尔可夫跳变参数和结构不确定性的系统.1问题的提出及定义考虑具有马尔可夫跳变参数以及参数不确定性系统dx(t)=[(A(r(t))+(r(t)))x(t)+(B(r(t))+B(r(t)))u(t,r(t))]dt+[C(r(t))x(t)+D(r(t))u(t,r(t))]dw(t)x(0)=x0,t0,r(0)=r0(1)的LQ最优控制器的鲁棒性问题.其中x(t)Rn是系统的状态变量.u(t)Rm是控制输入.w(t)是定义在概率空间(,F,{Ft}t0,P)上的一维标准布朗运动.参数r(t)是取值于有限集合={1,2,…,N}上的连续时间变量的马尔可夫过程.其转移概率矩阵P(i,j)由P{r(t+t)=j/r(t)=i}=ijt+o(t),ij1+ijt+o(t),i=j(2)给出.其中ij代表由状态i到状态j的转移概率.且满足ij0,ii=-ijij.A(r(t))Rnn,B(r(t)),C(r(t)),D(r(t))Rnm;A(r(t))及B(r(t))分别代表矩阵A(r(t))和B(r(t))的不确定性部分.对每一确定的r(t)值,A(r(t)),B(r(t))和D(r(t))都是常数矩阵.对于对称的矩阵M,N,矩阵不等式M0和>0使得Ex(t)2x02e-t(3)成立.下面给出一些基本假设:A1假设对每一r(t),存在对称半正定矩阵Q0(r(t)),R0(r(t))以及正常数a(r(t)),b(r(t))使得AT(r(t))A(r(t))a(r(t))Q0(r(t))BT(r(t))B(r(t))b(r(t))R0(r(t))(4)令Q(i)=Q0(i)+Q1(i),R(i)=R0(i)+R1(i).(5)这里矩阵Q(i)和R(i)是SLQ控制问题[2]中的成本权重矩阵.其中Q1i和R1i是给定的对称矩阵.A2假定不带马尔可夫跳变参数的标称系统,在最优控制律[2]u(t)=-(R+DTPD)-1(BTP+DTPC)x(t)(6)下是稳定的,其中成本权重矩阵由(5)式给出.引理设xRn,yRm,NRnm,则对于任意给定的正数a>0有下述不等式成立:2xTNyax2+1ayTNTNy.2最优调节器的鲁棒性在实际系统中,系统的系数一般不是确知的.这种不确定性往往会导致反馈控制器的失效,甚至会使系统失去稳定性.因此,必须事先对系统作出正确的判断,对系统的不确定性作相应的分析,以确定

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