关于广义(s,m)-GA-凸函数的几个Simpson型积分不等式

作者:孙健;双叶;何春颖;宝音特古斯; 刊名:内蒙古民族大学学报(自然科学版) 上传者:唐敏

【摘要】凸函数理论中,凸函数型积分不等式占有重要地位,广义凸函数的Simpson型积分不等式的研究非常活跃,且在不等式的证明中有广泛应用.本文利用广义(s,m)-GA-函数概念和H?lder积分不等式,研究了广义(s,m)-GA-凸函数的若干个新的Simpson型积分不等式,并给出了平均数方面的一些应用.

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1引言 下面引进几个凸函数的概念. 定义1.1设函数f:I?R=(-,)R,若对任意的x,yI和[0,1],有 则称f为I上的凸函数. 定义1.2[1]设函数f:[0,b]R,m(0,1],若对所有的x,y[0,b]和[0,1],有 则称f为[0,b]上的m-凸函数. 定义1.3[2,3]设函数f:[0,b]R,(s,m)(0,1]2,若对任意的x,y[0,b]和[0,1],有 则称f为[0,b]上第二种意义下的(s,m)-凸函数. 定义1.4[4]设函数f:[0,b]R,(s,m)[-1,1](0,1],若对任意的x,y[0,b]和(0,1),有 则称f为[0,b]上的广义(s,m)-凸函数. 定义1.5[5]设函数f:I?R+=(0,+)R,若对所有的x,yI和[0,1],有 则称f为I上的GA-凸函数. 定义1.6[6]设函数f:(0,b]R,(s,m)[-1,1](0,1],若对任意的x,y(0,b]和(0,1),有 则称f为(0,b]上的广义(s,m)-GA-凸函数. 众所周知,经典的Simpson型不等式如下. 定理1.1[7]设函数f:[a,b]R在(a,b)上具有四阶连续导函数函数,若 则 定理1.2[7]设函数f:[a,b]R为(a,b)上的一阶可微函数,fL([a,b]),则 其中f1=ab|f(x)|dx. 引理1.1[8]设函数f:I?R0R是I上的一阶可微函数,a,bI,且a<b.若fL([a,b]).则 有关凸函数的积分不等式的更多信息,见文献[9~25]以及密切相关的参考文献.本文利用引理1.1建立广义(s,m)-GA-凸函数的一些新的Simpson型积分不等式. 2主要结果 定理2.1设函数f:(0,b*]R为I内的可微函数,a,b(0,b*],且a<b,fL([a,b]).若|f|q为(0,max{a1m,b}]上的广义(s,m)-GA-凸函数,s(-1,1],且q1,则 其中 证根据引理1.1,H?lder积分不等式和基本不等式,可得 ||f(a)+4f(| ab)+f(b) ||1lnb-lnaaxdx||bf(x) 6 - | lnb-4lna0|1||32-t|||[a(1+t)/2b(1-t)/2||f (a(1+t)/2b(1-t)/2)||+a(1-t)/2b(1+t)/2||f (a(1-t)/2b(1+t)/2)||]dt 1 lnb-lna0|1||23? -t|||dt?(q-1)/q????01|||32-t|||(aq)(1+t)/2(bq)(1-t)/2||f(a(1+t)/2(b1m)m(1-t)/2)||qdt? 4+1||2?0|3 q (a(1-t)/2(b1m)m(1+t)/2)||qdt 1 -t|||(aq)(1-t)/2(bq)(1+t)/2||f q y?t? ? lnb-lna|1|2 ?1||2???0|3 4+1||2 |-t||dt? ?0|3 (q-1)/q -t|||??21+taq+21-tb?q?||f(a(1+t)/2(b1m)m(1-t)/2)||qdt? 1 q 1 -t||??1-taq+1+tb|q?|f|22? (a(1-t)/2(b1m)m(1+t)/2)||qdt q y?,?t? ?0|3 q利用|f|在(0,max{a1m,b}]上的广义(s,m)-GA-凸性,可得 ||f(a)+4f(ab)+f(b)|6 ||1lnb-lnaaxdx||bf(x) - | lnb-lna|1|24?0|3 1||22s+10|3{[1 |-t||

参考文献

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