一类(α,m)-凸函数的Hadamard型不等式

设f:I?RR是一个凸函数,a,bI且aa,如果fL[a,b],则有下面的等式成立:1mb-ambaf(u)du-fa+mb2=(mb-a)22120t2f(ta+m(1-t)b)dt+112(1-t)2f(ta+m(1-t)b)dt.(5)证明记J1=120t2f(ta+m(1-t)b)dt,J2=112(1-t)2f(ta+m(1-t)b)dt.利用分部积分,得到J1=120t2f(ta+m(1-t)b)dt=1a-mb120t2df(ta+m(1-t)b)=1a-mbt2f(ta+m(1-t)b)120-2120tf(ta+m(1-t)b)dt=1a-mb14fa+mb2-1a-mbfa+mb2+2a-mb120f(ta+m(1-t)b)dt.令ta+m(1-t)b=u,du=(a-mb)dt,则J1=14(a-mb)fa+mb2-1(a-mb)2fa+mb2+2(a-mb)3a+mb2mbf(u)du.同样地,J2=14(mb-a)fa+mb2-1(a-mb)2fa+mb2+2(a-mb)3aa+mb2f(u)du.故式(5)成立.证毕.3新的Hermite-Hadamard型不等式定理2设f:I?R0R是定义在I?上的一个可微映射,a,bI?,fL[a,b].对于一些固定的(,m)(0,1]2,mb>a且q1,如果|f|q是定义在[a,b]上的(,m)-凸函数,则1mb-ambaf(u)du-fa+mb2(mb-a)248K1|f(a)|q+m124-K1|f(b)|q1q+K2|f(a)|q+m124-K2|f(b)|q1q,(6)式中,K1=(12)+31+3,K2=2(+1)(+2)(+3)-(12)+32+7+14(+1)(+2)(+3).证明假设q=1.由引理1和|f|的(,m)-凸性可知,1mb-ambaf(u)du-fa+mb2(mb-a)22120t2|f(ta+m(1-t)b)|dt+112(1-t)2|f(ta+m(1-t)b)|dt(mb-a)22120t2(t|f(a)|+m(1-t)|f(b)|)dt+112(1-t)2(t|f(a)|+m(1-t)|f(b)|)dt=(mb-a)22K1|f(a)|+m124-K1|f(b)|+K2|f(a)|+m124-K2|f(b)|=(mb-a)22(K1+K2)|f(a)|+m112-K1-K2|f(b)|.(7)假设q>1,依据引理1以及Power-Mean积分不等式,有120t2|f(ta+m(1-t)b)|dt=120(t2)1-1q(t2)1q|f(ta+m(1-t)b)|dt120t2dt1-1q120t2|f(ta+m(1-t)b)|qdt1q(8)和112(1-t)2|f(ta+m(1-t)b)|dt112(1-t)2dt1-1q112(1-t)2|f(ta+m(1-t)b)|qdt1q(9)成立.由于|f|q是[a,b]上的(,m)-凸函数,对任意的t[0,1],有|f(ta+m(1-t)b)|qt|f(a)|q+m(1-t)|f(b)|q.(10)由式(7)(10),可得1mb-ambaf(u)du-fa+mb2(mb-a)22120t2dt1-1q120t2|f(ta+m(1-t)b)|qdt1q+112(1-t)2dt1-1q112(1-t)2|f(ta+m(1-t)b)|qdt1q(mb-a)22120t2dt1-1q120t2(t|f(a)|q+m(1-t)|f(b)|q)dt1q+112(1-t)2dt1-1q112(1-t)2(t|f(a