随机环境中具有配对单元迁移的两性分枝过程的极限性质

作者:任敏;张光辉; 刊名:淮北师范大学学报(自然科学版) 上传者:阚盛

【摘要】文章研究随机环境中具有配对单元迁移的两性分枝过程,在独立同分布的随机环境下,建立具有配对单元迁移的两性分枝过程{Zn,n≥0}且迁移的配对单元数与当前人口数有关,证得此过程是随机环境中的马氏链,并给出每个配对单元平均增长率的极限性质.

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0引言 1968年,Daley首次引入两性分枝过程的模型,随后诸多概率论工作者研究它的极限性质、灭绝概率等问题[1-4].为描述更复杂的物种模型,一些改进的两性分枝过程模型被引入,如具有迁入的两性分枝过程[5],配对依赖人口数的两性分枝过程[6],伴有移民的两性分枝过程[7],具有配对单元移出的两性分枝过程[8]等等.本文在前人研究基础上,研究随机环境中具有配对单元迁移的两性分枝过程模型,并且迁移的配对单元数和当前人口数有关,给出过程的马氏性和每个配对单元平均增长率的性质,推广经典两性分枝过程的相关结论. 设(,F,P)是概率空间,(,)是可测空间,N是非负整数集,配对函数L(?,?):N2N关于每个分量单调不减且是上可加的.设={,n0}和{(Fn,Mn)}n1是定义在(,F,P)上分别取值于(,)和N2的随机变量序列,{(fn,i,mn,i)}n1是在给定环境n下取值于N2的独立同分布的二维随机变量序列. 定义1若{Zn,n0}满足下列条件 则称{Zn,n0}为随机环境中具有配对单元迁移的两性分枝过程,其中fn,iIn,i,mn,iIn,i表示第n代的第i个配对单元在环境n下生成的雌性个体数和雄性个体数;Fn+1,Mn+1表示第n代所有配对单元生成的雌性总数和雄性总数.在环境n下,若第n代的第i个配对单元移出,则In,i=0;若第n代的第i个配对单元不移出,则In,i=1.Yn+1(L(Fn+1,Mn+1))表示第n+1代移入的配对单元数,并且移入的配对单元数与当前配对人口数有关.{In,i,i1}在给定的环境n下是独立同分布的,且与{fn,i,mn,i}i1独立. 定义2若随机环境中的两性分枝过程的配对函数是上可加的,即L(i=k1(fn,i,mn,i))i=k1L(fn,i,mn,i), 则称该过程是上可加的. 记Fn()=(Z0,Z1,?,Zn,0,1,?,n,?),n=0,1,2,?,且对任意的x,yN,有L(x,y)与Fn()相互独立. 1马氏性 定理1.1设={n,n0}独立同分布,则{Zn,n0}是随机环境中的马氏链,其一步转移概率为 证明由{Zn,n0}的定义知,P(Z0=N0|)=P(Z0=N0|0),因为L(x,y)与Fn()相互独立,对任意的i1,i2,?,in-1,iN,有 P(n;i,j). 由随机环境中马氏链的定义可知,{Zn,n0}是随机环境中的马氏链. 定理1.2设={n,n0}独立同分布,则{Fn+1,Mn+1}是随机环境中的马氏链,其一步转移概率是 类似于定理1.1可以证得定理1.2. 2极限性质 定义2.1设{Zn,n0}是随机环境中具有配对单元迁移的两性分枝过程,当其第n代配对单元数为k时,称rk,=kE(Zn+1|Zn=k,n=)为第n代每个配对单元的平均增长率. 定理2.1设随机环境={n,n0}是独立同分布,配对函数L(x,y)是上可加的并且满足L(x,y)x+y.若{Yn(k)}k0满足P(Yn(k+1)Yn(k))=1,0<E(Yn(k))<,0<E(fn,1In,1,mn,1In,1)<,则 证明分以下几步证明结论:第1步,由强大数定律可得, 第2步,证明k-1L{k(E(fn,iIn,i),E(mn,iIn,i))}的极限存在.令ak=k-1L{k(E(fn,iIn,i),E(mn,iIn,i))},则 在(1)式两边取极限,有lkimakak+11.存在k0N,当kk0时ak单调不减.因为L(x,y)x+y,所以有 即ak有界,故极限lkimak存在且与E(fn,iIn,i),E(mn,

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