关于3重量的二元线性码的一个注记

作者:李明明;亓延峰;牛刚; 刊名:杭州电子科技大学学报 上传者:马汉晓

【摘要】布尔函数在密码学和编码理论中都有着重要的应用,由布尔函数构造的两类著名的二元码是Reed-Muller码和Kerdock码.该文考虑使用布尔函数来构造二元线性码,得到3重量的二元线性码,确定了此类二元码的参数和重量分布,此类小重量的线性码可以用于认证码、密码共享方案、结合方案和强正则图等.

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0引言布尔函数是从m维线性空间Fm2或者有限域F2m到F2的映射,可以用来设计密码学中流密码和分组密码的S盒,也在编码理论的二元码构造中有着重要的应用[1].Reed-Muller码和Kerdock码是由布尔函数得到的两类重要的二元码.使用布尔函数构造二元线性码有两种通用的方法,一种方法是使用布尔函数的值域构造线性码的码字,此类线性码的维数最多为2m;另一种方法是使用有限域F2m的子域来构造线性码,即取有限域F2m的子集D={d1,d2,…,dn},则给出线性码CD={(Tr(d1x),Tr(d2x),…,Tr(dnx))xF2m},其中D称为线性码的定义集合,Tr为迹函数,而定义集合由布尔函数所给出.最近许多的工作使用第二种方法来构造,取D为布尔函数值的原像,即D={xF2mf(x)=0,x0},不同的布尔函数可以给出许多二元线性码.得到的一些结果可以参见文献[2-8],其中使用的函数有Tr(x2h+)1,Tr(x3+x),Tr(x)2,二次bent函数,弱正则bent函数等.这些构造出的线性码是小重量的线性码,小重量的线性码可以应用于认证码[9-10]、秘密共享协议[2,11,12]、结合方案[13-14]等.本文考虑使用与文献[2-3]不同的布尔函数Tr(x2h+1+x)来构造定义集合,从而得到一些3重量的二元线性码,并确定这些二元线性码的具体参数和它们的重量分布.1预备知识给出基本符号定义,并给出线性码和指数和的相关结论,这些结论用于二元线性的参数和重量分布的确定.记m,h为正整数,q=2m,其中1h0,从而线性码CD维数为m.由定义集合D所得到的线性码CD是3重量码,记3个非零重量分别为w1,w2和w3,重量为wi的码字数量为Ai,使用文献[17]第260页中的方程Aw1+Aw2+Aw3=2m-1w1Aw1+w2Aw2+w3Aw3=n2m-1w12Aw1+w22Aw2+w23Aw3=n(n+1)2m-烅烄烆2解得Ai,根据不同的情况,分别得到线性码CD的重量分布,具体见表格1.定理得证.例2.1设(m,h)=(5,1),则l=1,m/l=5,由定理2.1得到线性码CD是参数为[20,5,8]的二元线性码,其重量计数为1+5z8+16z10+10z12.例2.2设(m,l)=(6,1),则l=1,m/l=6,m2mod4,由定理2.1得到线性码CD是参数为[32,6,12]的二元线性码,其重量计数为1+6z12+47z16+10z20.例2.3设(m,h)=(8,1),则l=1,m/l=8,m0mod4,由定理2.1得到线性码CD是参数为[144,8,64]的二元线性码,其重量计数为1+27z64+192z72+36z80.3结束语本文结合文献[6]中线性码的构造方法,给出了一类3重量的二元线性码,并给出了二元线性码的相关参数和重量分布.文中的3重量二元线性码可用于结合方案的构造.未来的主要研究工作是寻找更多一般的函数构建好的小重量线性码并给出相关参数.关于3重量的二元线性码的一个注记@李明明$杭州电子科技大学理学院!浙江杭州310018 @亓延峰$杭州电子科技大学理学院!浙江杭州310018 @牛刚$杭州电子科技大学理学院!浙江杭州310018布尔函数在密码学和编码理论中都有着重要的应用,由布尔函数构造的两类著名的二元码是Reed-Muller码和Kerdock码.该文考虑使用布尔函数来构造二元线性码,得到3重量的二元线性码,确定了此类二元码的参数和重量分布,此类小重量的线性码可以用于认证码、密码共享方案、结合方案和强正则图等.线性码;

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