分数次积分下关于s-凸函数的新Hermite-Hadamard型不等式

作者:孙文兵; 刊名:浙江大学学报(理学版) 上传者:叶水茂

【摘要】建立了一个关于Riemann-Liouville分数次积分的恒等式, 利用此恒等式, 得到了一些函数为可微且s-凸映射的关于分数次积分的新Hermite-Hadamard型积分不等式, 并且对于可微的s-凹函数也得到一些新的结果.文中的新结果推广了部分已有研究的结论.最后给出了一个应用实例.

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0引言令f:IRR是一个凸函数且a,bI,a1,则1b-abaf(x)dx-fa+b()2b-a164p+()11/p[|f(a)|p/(p-1)+3|f(b)|p/(p-1())(p-1)/p+3|f(a)|p/(p-1)+|f(b)|p/(p-1())(p-1)/p].(4)定理3令f:I*RR是区间I*上的可微映射.若映射|f|pp-1是[a,b]上的凸函数,a,bI*,a1,则1b-abaf(x)dx-fa+b()2b-a44p+()11/p|(f(a)|+|f(b)|).(5)KIRMACI等[13]还证明了对于凹函数,有定理4令f:I*RR是区间I*上的可微映射,且p1.如果|f|p是[a,b]上的凹函数,a,bI*,aa,Jb-f(x)=1()bx(t-x)-1f(t)dt,x0且01,则以下分数次积分不等式成立:(+1)(b-a)(-1)Ja+b2-f(b)-Ja+b2+[f(a)]+[-1+(-1)]12fa+b()2b-a2+s+1(s+1)2s(s+1)p+()11p|f(a)|p/(p-1)+(2s+1-1)|f(b)|p/(p-1())(p-1)/[p+(2s+1-1)|f(a)|p/(p-1)+|f(b)|p/(p-1())(p-1)/]p.(16)证明由引理2以及H9lder不等式,得到(+1)(b-a)(-1)Ja+b2-f(b)-Ja+b2+[f(a)]+[-1+(-1)]12fa+b()2(b-a)1/20|t||f(ta+(1-t)b)|d[t+11/2|(t-1)||f(ta+(1-t)b)|dt](b-a[)1/20tpd(t)1(p1/20|f(ta+(1-t)b)|qdt)1]q+(b-a熿燀)11/2|(t-1)p|d(t)1(p11/2|f(ta+(1-t)b)|qdt)1燄燅q,其中,1p+1q=1.因为|f|q在[a,b]上是第2种意义下s-凸的,则有1/20|f(ta+(1-t)b)|qdt1/20(ts|f(a)|q+(1-t)s|f(b)|q)dt=12s+1(s+1)|f(a)|q+(2s+1(-1)|f(b)|)q和11/2|f(ta+(1-t)b)|qdt11/2(ts|f(a)|q+(1-t)s|f(b)|q)dt=12s+1(s+1)(2s+1-1)|f(a)|q(+|f(b)|)q.通过计算得到1/20tpdt=11/2|(t-1)p|dt=12p+1(p+1).从而可得(+1)(b-a)(-1)Ja+b2-f(b)-Ja+b2+[f(a)]+[-1+(-1)]12fa+b()2b-a2+s+1(s+1)2s(s+1)p+()11p|f(a)|p/(p-1)+(2s+1-1)|f(b)|p/(p-1())(p-1)/[p+(2s+1-1)|f(a)|p/(p-1)+|f(b)|p/(p-1())(p-1)/]p,定理7得证.推论3令f:[a,b][0,]R,在区间(a,b)上是一个可微映射,a1,则以下分数次积分不等式成立:(+1)(b-a)(-1)Ja+b2-f(b)-Ja+b2+[f(a)]+[-1+(-1)]12fa+b()2b-a2+34p+()11p[(|f(a)|p/(p-1)+3|f(b)|p/(p-1))(p-1)/p+3|f(a)|p/(p-1)+|f(b)|p/(p-1())(p-1)/p].(17)证明在式(16)中,取s=1,即可得到式(7).注3在推论3中,如果令=1,则由式(17)可得到定理2中的不等式(4).推论4令f:[a,b][0,]R,在区

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