关于P-凸函数的积分型Jensen不等式

作者:宋振云 刊名:纯粹数学与应用数学 上传者:李春雨

【摘要】基于P-凸函数的函数凸性,研究了P-凸函数的Jensen型不等式的积分形式,通过定积分的定义计算,得到了P-凸函数的积分型Jensen不等式;利用P-凸函数的一个充要条件,建立了P-凸函数的积分型Jensen不等式的加权形式.

全文阅读

1引引言言及及结结论论关于P-凸函数,一个十分重要的性质是如下结果[1]:设f(x)是IR上的P-凸函数,xiI,ti[0,1](i=1,2,,n),若ni=1ti=1,则fni=1tixpi1/pni=1tif(xi).(1.1)特别地,当t1=t2==tn=n1时,(1.1)式即为f1nni=1xpi1/p1nni=1f(xi).(1.2)若f(x)是IR上的P-凹函数,则不等式(1.1)、(1.2)中的不等号反向.通常称不等式(1.1)为P-凸函数的离散型Jensen不等式,简称为P-凸函数的Jensen型不等式,不等式(1.2)显然是不等式(1.1)的特殊情形,也称其为P-凸函数的Jensen型不等式.最近,文献[2]在深入研究了P-凸函数之后,给出了P-凸函数的若干性质,文献[3]则研究的是P-凸函数的判别问题,给出了P-凸函数的一个充要条件,文献[4]是在先期研究成果的基础上,建立了P-凸函数的算术平均不等式,即P-凸函数的Hadamard型不等式.本文受文献[5]的启示,考虑对P-凸函数的离散型Jensen不等式的连续性推广,建立了P-凸函数的Jensen型不等式的积分形式,即P-凸函数的积分型Jensen不等式.主要结果如下:定定理理1.1(积分型Jensen不等式)设(t)是定义在[a,b]上的连续函数,f(x)是([a,b])上的可微P-凸函数,则f1baba((x))pdx1/p1babaf((x))dx.(1.3)若f(x)是([a,b])上的可微P-凹函数,则不等式(1.3)中的不等号反向.定定理理1.2(积分型Jensen不等式的加权形式)设(t)和(t)是定义在[a,b]上的连续函数,且(t)>0,f(x)是([a,b])上的可微P-凸函数,则fba(x)((x))pdxba(x)dx1/pba(x)f((x))dxba(x)dx.(1.4)若f(x)是([a,b])上的可微P-凹函数,则不等式(1.4)中的不等号反向.2预预备备知知识识定定义义2.1[2]设IR,若x1,x2I,t[0,1],存在p=2k+1或p=nm(n=2r+1,m=2s+1)(k,r,sN),有[txp1+(1t)xp2]p1I,则称I为P-凸集.当IR+,pR且p=0时,也称I为P方凸集[6].定定义义2.2[1-2]设I是P-凸集,f:IR,若x1,x2I,t[0,1],有f([txp1+(1t)xp2]1/p)tf(x1)+(1t)f(x2).(2.1)则称f(x)为I上的P-凸函数;若不等式(2.1)中的不等号反向,则称f(x)为I上的P-凹函数.引引理理2.1[1]设f(x)是定义在区间IR上的函数,且f(x)在I上二阶可导,则f(x)在I上为P-凸(凹)函数的充要条件是:x2f(x)+(1p)xf(x)()0,xI.(2.2)引引理理2.2设I是P-凸集,f(x)是I上的可导函数,则f(x)为I上的P-凸(凹)函数的充要条件是:f(x)()1pf(x0)x1p0(xpxp0)+f(x0),x,x0I.(2.3)证证明明仅证f(x)是P-凸函数的情形,同样的方法可证明f(x)为P-凹函数的情形.设f(x)是P-凸函数,x,x0I,令=1+tt(t0为实数),则[xp0+(1)xp]1/p=t1+txp0+1t1+txp1/p=xp+txp01+t1/p.显然,[xp0+(1)xp]1/p即为函数f(x)的曲线上的两点P(x,f(x))与P0(x0,f(x0))的坐标的P次方为坐标的点P(xp,(f(x))p)与P0(xp0,(f(x

参考文献

引证文献

问答

我要提问