用小波级数辨识无穷维线性时不变系统

作者:喻文焕;张兆宁;廖一原 刊名:系统科学与数学 上传者:王峥

【摘要】本文首先介绍了正交小波及其 Laplace变换,证明了变换后的小波在 Hardy空间 H_2中仍然保持正交性质.接着,引入了无穷维线性时不变系统的传递函数、β-输入- 输出稳定性概念.最后,应用小波级数逼近β-输入-输出稳定系统传递函数,从而为辨 识无穷维系统提供了一种新途径.

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引言本文旨在用小波级数逼近无穷继线性时不变系统的传递函数,从而提供一种非参数的辨识方法众所周知,根据输入与输出来确定的系统传递函数,在有限维线性时不变系统是一个非常重要的概念,因此如何通过实验数据来确定它,一直受到人们的重视,作了大量的研究工作,直到最近仍有许多人研究它,可参见文献卜对于无穷维线性时不变系统,已有人进行了研究,将有限维系统的传递函数概念推广到了无穷维系统,即分布参数系统,见小波分析理论自近十几年得到了迅猛发展,且在信号处理、图象处理、语音分析等领域有许多成功的应用,目前也有人将其应用到系统分析方面,见文献小波级数如同级数一样,是强有力的分析工具在本文中,我们使用它来逼近无穷维系统的传递函数,从而为确定系统提供了一种新的非参数辨识方法,给出了确定无穷维线性时不变系统的一种新手段本文第二节,在简单介绍了正交小波后,首先研究了小波的变换性质,据不完全统计,这是第一次被深入研究有趣的是,正交小波经变换后,在空间中仍构成一个正交基第三节介绍了无穷维线性系统的传递函数,个输入一输出稳定类及其性质本文第四节,在前两节的基础上,讨论了根据观测数据确定传递函数的问题转化成用小波级数逼近问题,然后建立了辨识算法:即先验证所给数据是否符合所需模型,再用小波级数来逼近本文讨论中使用了下述记号:表示变换,‘表示逆变换,表示复数集合,即表示右半开平面()尸,代表整数集合,表示实数集合顺便提一下,本文的研究结果都可以推广到多输入一多输出()系统正交小波及其变换且正交尺度函数与正交母波函数设尺度函数中构成。()的一个多分辨分析(,其中仲。,。冶是。()的子空间而忡。,。揣一由平移与伸缩生成的函数族如果体。,。是中的正交规范基,称。为正交尺度函数这时构成一个正交多分辨分析根据小波分析理论【’,可以适当选取与对应的正交母波函数吵,由它经平移与伸缩生成了函数族忡。,不一,其中这时,。,不一是()中的正交函数族,即其中了是中的共轭复数,而注当忡;,。,叭,时,称,与外,。相互正交,并记作队,。上呢,。由,我们得出下面性质引理在适当假设下,函数族。,。与。,。不一。满足注在以后的讨论中,我们假定尺度函数与母小波中是正交的,且具有紧文集,即,,一卜,尺度函数及小波的变换设尺度函数的变换为引理民,。()是指数型整函数证首先计算。,。的变换:任取,要证民,在解析即可得到所证结论设厂是包围的任一简单闭曲线,考虑积分最后一个等式是利用了整函数‘”(‘十巾沿任何闭曲线的积分为零(定理)再由定理的逆定理可知。,。(),。()在处解析最后,由式()容易得到它是指数型考虑空间节)。《;在半开平面万内解析,(印)也是一个空间,当。时,简记为引理函数系,。拦为中的规范正交系证直接计算内积其中最后一个等式是利用规范正交函数族,。拦的性质’对于正交小波的函数族,亦可计算其变换类似可以证明它们满足引理和进一步,我们有引理函数系吭,。,,。具有下面性质:证我们注意到正是的变换于是,由定理可得其它的等式可类似证明函数及其变换的小波级数展开由小波分析理论,小波的平移伸缩函数族忡。,。)构成了。()的无条件基,再由前面分析,变换是。()到。()之间的同构,因此,。也构成中的正交基于是。()中的函数可以展开成小波级数,故对任意叭)。(),皆可展开成小波级数,考虑到实际应用中信号频带一般是有限的,因而可用有限频率来表示如下其中为已知常数根据引理,展开式的系数可用下式计算对于。(勺的变换(),展开级数为根据引理,其展开式系数可按下式计算引理石我们有,忍一。,力,氏,一点力,其中,允证根据公式(),(叫与,。分别是

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