2017年全国新课标Ⅰ卷理科压轴题的解法分析

作者:李晓波;易敏; 刊名:中学数学教学 上传者:吴世龙

【摘要】2017年的高考已落下帷幕,今年的全国新课标卷1理科压轴题简明而清新,突出考查学生的分类讨论与数形结合思想及数学思维的严谨性,要求学生有较好的处理函数与导数问题的基本功和综合能力,它承载着选拔的功能,但并不是让学生感到“不可一试”,笔者按自己的解答撰文评析,供读者参考.

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64 中学数 学教 学 2017年 第 4期 20 1 7年全 国新课标 工卷理科压轴题 的解法分析 广 东省 惠州 市第一 中学高 中部 李 晓波 (邮编 :516007) 广 东省 惠州 市博 罗 中学高 中部 易 敏 (邮编 :516100) 2017年的高考已落下帷幕 ,今年的全国新课 标 卷 1理科 压轴 题简 明 而清 新 ,突 出考 查 学 生 的 分类讨论与数形结合思想及数学思维的严谨性, 要 求 学生 有 较 好 的处 理 函数 与 导数 问题 的 基 本 功和综合能力 ,它承载着选拔 的功能 ,但并不是 让学 生感 到“不 可一 试 ”,笔 者按 自己的解 答 撰 文 评 析 ,供读 者参 考. 题 目 (2017年 全 国新课 标卷 I理科 21题) 已知 函数 厂( )一ae趾+ (口一 2)e 一z. (1)讨 论 .厂(z)的单调 性 ; (2)若 .厂( )有两个零点 ,求 n的取值范围. 为 了方便 ,我们 只讨 论第 二 问. 解 法 1 (“站在 第一 问的肩膀 上”) (i)当 a ≤ 0 时 ,由 (1)知, 厂( )在 (一 ∞,+ oO)上递 减 ,f(212)最 多有 一个零 点 . (ii) 当 a> 0,由 (’1)知 ,.厂( )的 最 小 值 1 厂(一 ina)一1一二 +lna.又 由于 lira f( )一+∞ a z一 (或 厂(一 2)> O),lim f(z)一 +∞(或 f(1n ) 一 。+十 ∞ a > 0),因 此 要 使 f( )有 两 个 零 点 ,则 必 须 1 g(口):-厂(一 lna)一1一 +lna< 0,而 g (口)一 “ 1 1 + > 0,则 g(n)在 (0,+ ∞)单 调递 增 ,且 a “ g(1)一0.于是 0< a< 1时 ,g(口)< 0.即 a∈ (0,1),f( )有两 个零 点. 评注 此解 法较 好 地利 用 了第一 问 的结 论 , 由 (1)可 知 若 . 厂(z)有 两 个 零 点 ,则 必 须 使 厂( )的最小值小于 0,然后把 a的范围解出来 , 并 说 明在最 小 值 点 的左 右 两 边 各 取 到 一 个 零 点 即可 (或者用 极 限方 法 说 明).这 应该 是 最 多 考 生 采 用 的方法 ,比较简 洁. 解 法 2 (“参 变分 离”) 9 z J ~ 令 f(x)一o,解得 n=== 要使 f(x)有 两个零点,即要求Y—a与g(z)=鍪{ 的图 象 有两个 交 点 , ,, 、 e (一 2e + e 一 2xe 一 2C+ 1) g z 一 — — — — — 一 一 一 等 ,当z<o N,g ) e (e +1)0 ⋯ 一、 。一 > 0,g(z)单调递 增 ;当 z> 0时 ,g (z)< 0, g(1z)单调 递减 ,所 以 g(z)的 最 大值 为 g(O)一 1.当 z一~ ∞时 ,g(z)一一 00,当 一+ ∞时 , g(z)一 0,且 z> 0时 ,g(z)> 0.如 图 1. 所 以 0< a< 1时 ,Y —n与 )一 在 (一 O0,+ ∞)有 两 个 交 点 . 综上 所述 ,当 0< n< 1时 f(x)有 两个 零点 . 4 2 y=a / 5j 图 1 评注 这 种 解 法 实质 是进行 参 变分离 ,厂( )有 两个零 点 ,转 化 为 y— n与g(z)一鍪 的图象有两个交点,从而研 究函数 Y—g(z)的图象 ,再结合图象求 出 a的 范 围.这 种方 法 的优

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