关于Riemann-Liouville分数积分的Hermite-Hadamard型不等式

作者:邱克娥;彭长文; 刊名:四川师范大学学报(自然科学版) 上传者:贾雪宁

【摘要】主要建立2个关于已知函数导数的重要Hermite-Hadamard型Riemann-Liouville分数积分恒等式,进而得到关于某些特殊凸函数有意义的Riemann-Liouville分数积分的Hermite-Hadamard型不等式,如s-凸函数、m-凸函数、(s,m)-凸函数等.这些结果改进了一些文献中的有关结果,并结合几个常用的平均值给出应用.

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1893年,Hermite和Hadamard给出了著名的Hadamard不等式(也叫Hermite-Hadamard不等式):若f(x)是闭区间[a,b]上的连续凸函数,则有f(a+b2)1b-abaf(x)dxf(a)+f(b)2,等号当且仅当f(x)为线性函数时成立.近些年来,Hermite-Hadamard不等式受到广泛关注并应用于生产实际及计算机领域,参见文献[1-3].更有许多学者对Hermite-Hadamard不等式做了大量的改进和推广,M.Z.Sarikava等在文献[4]的定理2中得到:设0a0,其中Ja+f(x)=1()xa(x-t)-1f(t)dt,x>a;Jb-f(x)=1()bx(t-x)-1f(t)dt,x1.定理3设b*>0,微分映射f:[0,b*]R满足|f(x)|是定义在[a,bm]上的可测m-凸函数,其中,0a1.烅烄烆定理2得证.注2在定理2中取=s=1,则1b-abaf(x)dx-f(a+b2)b-a8(|f(a)|+|f(b)|),得到文献[11]中的结果.该结果改进了文献[8]中的结果.2.3定理3的证明由于|f(x)|是定义在a,bm[]上的可测m-凸函数,对任意t[0,1],对m(0,1],f(1+t2b+1-t2a)=f(1-t2a+m1+t2bm)1-t2|f(a)|+m1+t2f(bm)|,且f(1+t2a+1-t2b)=f(1+t2a+m1-t2bm)1+t2|f(a)|+m1-t2f(bm).与定理2证明类似可得,定理3结论成立.证毕.2.4定理4的证明由于|f(x)|是定义在[a,b]上的可测(s,m)-凸函数,对任意t[0,1],对某(s,m)(0,1]2,f(1+t2mb+1-t2a)(1-t2)s|f(a)|+m(1-(1-t2)s)|f(b)|,且f(1+t2a+1-t2mb)(1+t2)s|f(a)|+m(1-(1+t2)s)|f(b)|,与定理2证明类似可得,定理4结论成立.证毕.3应用对任意实数,,,考虑文献[12]中的以下平均值:1)调和平均值:H(,)=21/+1/,,R{0};2)算术平均值:A(,)=+2,,R;3)对数平均值:L(,)=-ln||-ln||,||||,0;4)广义对数平均值:Ln(,)=n+1-n+1(n+1)(-)[]1n,nZ{-1,0},,R,.命题1设a,bR,ab-1,0[a,b],nZ且|n|2,则|Lnn(b-1,a-1)-H-n(a,b)|a-1-b-12(s+1)(s+2)2+s2+5s+222+s()|n|H-1(|a|n-1,|b|n-1),同时|L-1(b-1,a-1)-H(a,b)|a-1-b-12(s+1)(s+2)2+s2+5s+222+s()A(|a|2,|b|2).证明在命题1及命题2中,做替换ab-1,ba-1即可证.证毕.2010MSC:26A15;26A51(编辑李德华)关于Riemann-Liouville分数积分的Hermite-Hadamard型不等式@邱克娥$贵州师范学院数学与计算机科学学院!贵州贵阳550018 @彭长文$贵州师范学院数学与计算机科学学院!贵州贵阳550018主要建立2个关于已知函数导数的重要Hermite-Hadamard型Riemann-Liouville分数积分恒等式,进而得到关于某些特殊凸函数有意义的Riemann-Liouville分数积分的Hermite-Hadamard型不等式,如s-凸函数、m-凸函数、(s,m)-凸函数等.这些结果改进了一些文献中的有关结果,并结合几

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