基于凸函数积分性质的Hermite-Hadamard 不等式的加细

作者:时统业;李军; 刊名:广东第二师范学院学报 上传者:张玉灵

【摘要】首先证明了凸函数的两个积分性质,即凸函数的算术平均值关于积分上限或下限为凸函数.从凸函数的这两个积分性质出发,建立了积分不等式,它是Hermite-Hadamard不等式的加细.

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0引言已有文献通过构造与凸函数有关的函数,得到Hermite-Hadamard不等式的加细或者Hermite-Hadamard型不等式.例如,对于[a,b]上的凸函数f,文[1]引入了定义在[0,1]上的与f有关的凸函数H(t)=1b-abaf(tx+(1-t)a+b2)dx,从而得到Hermite-Hadamard不等式左边部分的加细:f(a+b2)H(t)t1b-abaf(x)dx+(1-t)f(a+b2)1b-abaf(x)dx.又如,对于[a,b]上的凸函数f,文[2]引入了定义在[0,1]上的与f有关的凸函数P(t)=12(b-a)ba[f(1+t2a+1-t2x)+f(1+t2a+1-t2x)]dx,从而得到Hermite-Hadamard不等式右边部分的加细:1b-abaf(x)dxP(t)f(a)+f(b)2.再如,对于[a,b]上的凸函数f,文[3]利用xf(1/x)是[1/b,1/a]上的凸函数,得到带有权函数的Hermite-Hadamard型不等式.文献[4]收录了下面关于凸函数的一个积分性质:设f是(0,)上的凸函数,则F(x)=1xx0f(t)dt也是(0,+)上的凸函数.文[5]给出这个积分性质的一个推广.定理1[5]设f是[a,b)(b>a,b是有限实数或+),是一个正实数,令F(x)=1(x-a)xa(t-a)-1f(t)dt,aa,a是有限实数或+),是一个正实数,令G(x)=1(b-x)bx(b-t)-1f(t)dt,a<x<b,f(b),x=b,烅烄烆则G也是(a,b]上的一个凸函数.本文的主要目的是利用定理1和定理2当=1的情形,建立凸函数的积分不等式,从而给出Hermite-Hadamard不等式的加细.1主要结果定理3设f是[a,b]上的凸函数,则有f(a+b2)6(b-a)3ba(x-a)(b-x)f(x)dx13(b-a)4{ba(b-x)[(b-x)2+3(x-a)(b-x)+3(x-a)2]f(a+x2)dx+ba(x-a)[(x-a)2+3(x-a)(b-x)+3(b-x)2]f(x+b2)dx}+3(b-a)3ba(x-a)(b-x)f(x)dx1b-abaf(x)dx,(2)1b-abaf(x)dx215(b-a)3ba(x-a)(b-x)f(x)dx+3[f(a)+f(b)]20f(a)+f(b)2.(3)证明对凸函数f在[a,b]上使用Fejr不等式有(b-a)36f(a+b2)=f(a+b2)ba(x-a)(b-x)dxba(x-a)(b-x)f(x)dxf(a)+f(b)2ba(x-a)(b-x)dx=(b-a)3f(a)+f(b)12,利用上面不等式证得式(2)的左边不等式和式(3)的右边不等式.下面证明式(2)的右边不等式和式(3)的左边不等式.对于任意x(a,b],由定理1知F(u)是[a,x]上的凸函数.取g(u)=(u-a)(x-u),对F(u)在[a,x]上使用Fejr不等式得2x-aa+x2af(t)dtxag(u)duxaF(u)g(u)du12[f(a)+1x-axaf(t)dt]xag(u)du,其中xaF(u)g(u)du=xa(x-u)[uaf(t)dt]du=12xa(x-u)2f(u)du,xag(u)du=xa(u-a)(x-u)du=16(x-a)3,所以对于任意x[a,b],有2(x-a)2a+x2af(t)dt3xa(x-u)2f(u)du12(x-a)3f(a)+12(x-a)2xaf(t)dt,在上式中对x在[a,b]上积分得2ba(x-a

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