哥德尔不完全性定理与人类对创造性的追求——侯世达对哥德尔不完全性定理哲学意蕴的阐释

作者:冯晶;杨永良 刊名:理论学刊 上传者:杨晓燕

【摘要】哥德尔不完全性定理涉及人类理性、思维规律并被广泛应用于数学、哲学、语言学、心理学、人工智能等各个领域。因此,围绕着对其哲学意蕴的理解,在上述各个领域都爆发了激烈的争论。美国科学家霍夫斯塔特(即"侯世达")认为,包括理性认识和艺术创造在内的人类智慧在其形式化方面都是受到限制、有其边界、不可完全的,而其不完全性则意味着需要创造和创造性,需要突破现有界限,同时也意味着进行这种自由创造的无限可能性。

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一、哥德尔不完全性定理的诞生在国际数学界因“康托尔悖论”等语形悖论而引发了第三次危机之后的1931年,美籍奥地利数学家库尔特哥德尔(KurtGdel,1906-1978年)发表了题为《论数学原理及相关系统的形式不可判定命题》的论文,在该论文中他证明了:“一个包含初等数论和一阶逻辑的形式系统P如果一致,则P是不完全的”。其后不久,他又进一步证明了:“如果P一致,则P的一致性不能在P中得到证明。”[1](P19)这两个证明就是著名的哥德尔第一和第二不完全性定理。像迄今为止国际数学界曾发生过三次危机一样,哥德尔不完全性定理的证明对当时的科学和哲学以及与此有关的各个领域来说,无疑又是一次巨大的冲击。“哥德尔第一定理确立了不可判定命题,哪怕是我们思想中最稳定的毫不含糊的自然数也不例外,我们不能用一个形式系统对它进行完全的刻划和把握。哥德尔第二定理,直接破灭了希尔伯特证明数学无矛盾性的目标。”[2](P188)“哥德尔不完全性定理打破了人们对理性完备性的信仰,使人们对理性的可靠性产生怀疑。由是,理性第一次陷入了自身无法解决的理论困局。”[3](P103)哥德尔不完全性定理不但证明了:“对每一个一致的形式系统M,至少存在着一个陈述G,它既不能在M中被证明,也不能在M中被否证”,同时它还说明:“对每一个这样的形式系统M,总可以构造出从系统之外看来实际上是真的陈述G”,由于“尽管G在M内不可判定,但它实际上却是真的,并且在系统外它也可以被看作是真的。”[4](P29-P30)因此,它首先使数学家和逻辑学家们感到震惊也就没有什么不可思议了。这一点正如我国学者所指出:“哥德尔使数学家猛然醒悟:数学不但是不完全的(In-complete),而且是不可完全的(Incomplete-ble)”[5](P5),“数学的不可完全性是哥德尔不完全性定理所揭示的最深刻的元数学本质。”[5](P4)事实上,“两个定理所揭示的事实是极端残酷的,即当形式系统S丰富到足以包括初等数论,S中就存在真的却不可证的命题。即使添加更强的公理和推理规则将系统扩张到S',在S'中仍存在真的但不可证的命题,继续扩张到S、S'……情形依然如此。”[5](P5)因此,从对于人类理性的形式化和人类思维规律的探讨这一角度,我们甚至可以说,这两个定理在哲学和认识论等方面的影响要远远大于其对于数学和逻辑学的影响。正是由于如此,我国学者才深刻地指出:“哥德尔不完全性定理有很深刻的哲学意义,从不完全性定理,我们认识到任何形式系统都有其局限性,无论是数学还是逻辑都只能从某种相对意义上反映客观世界的真实性。……没有哪一种形式系统能够穷尽一切真理。……原有的体系中不能解决的问题可以在新的系统中得到解决,而新的系统无论多么高级又必定会产生它自身所不能解决的问题,它也必将发展而成为更新的系统,人们的认识将随此而不断创新。”[1](P19-20)二、哥德尔不完全性定理的哲学意蕴由于哥德尔定理涉及人类理性和人类思维规律并可在数学、哲学、语言学、人工智能等各个领域得到广泛的应用,因此,人们对其哲学意蕴的解读也就各不相同,并因而爆发了在上述各个领域的激烈争论。其中人们争论最集中的一点是,哥德尔不完全性定理是否意味着人类理性的极限,或者说这一定理是否意味着不可知论是正确的。这正如美国著名分析哲学家欧内斯特内格尔(ErnestNagel,1901-1985年)和美国数学家詹姆士R纽曼(JamesR.Newman,1907-1966年)所指出:哥德尔证明不应引起绝望,也不应被当作陷入神秘主义的借口,发现有不能够形式证明的数论真理,并不意味着有

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