对2019年高考全国Ⅱ卷理科21题的溯源与解析(无全文)

作者:江智如; 刊名:中学数学研究(华南师范大学版) 上传者:顾海华

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【摘要】中学数学教师不能仅限于解题和就题论题,要站在命题者的角度探寻试题命制的源流,追溯问题的本源,更好地理解与领悟课程标准的精神和要求,提高日常教学的质量与效率.本文对2019年全国Ⅱ卷理科第21题进行溯源与解析.

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2019年高考全国II卷理科第21题,题型结构常见,三个问题按梯度层层递进,难度步步提升,很好地考查考生的推理论证能力与运算求解能力,体现试题的区分功能与选拔功能.因为高考试题通常都具有深刻的命题背景,所以作为一线数学教师,不能仅限于解题和就题论题,而应站在命题者的角度探寻试题命制的源流,追溯问题的本源[1],更好地理解与领悟课程标准的精神[2]和要求,提高日常教学的质量与效率.1试题呈现题目(2019年高考全国II卷理科第21题)已知点A(-2, 0), B(2, 0),动点M(x, y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.12(I)求C的方程,并说明C是什么曲线;(II)过坐标原点的直线交C于P, Q两点,点P在第一象限, PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明:△P QG是直角三角形;(ii)求△P QG面积的最大值.本试题三个小问,按照“轨迹—证明—求值”常规结构命制,第(I)问求轨迹是利用椭圆的“第三定义”—斜率乘积为定值求解;第(i)问是常见俗套问题–“垂直”问题;第(ii)问是在第(i)问的基础上求最值问题,全题波澜不惊,步步为营,让人似曾相识,下面笔者探寻试题的本源与解法.2试题溯源笔者查阅历年高考试题,发现本试题几乎是2011年江苏高考第18题的原题,试题如下:题1 (2011年高考江苏卷第18题)如图1,在平面直角坐标系xoy中, M, N分别是椭圆x42+y22=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P, A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.(I)当直线PA平分线段MN时,求k的值;(II)当k=2时,求点P到直线AB的距离;(III)对任意k> 0,求证:P A⊥P B.图1点评题1与全国II卷第21题的已知条件非常相似,区别在:题1中曲线方程直接给出,而全国II卷的试题则把曲线方程设置为第(I)问进行求解,两道试题考查的难点都是“垂直”问题.此外,题1的第(I)问和第(II)问设置比较基本,面对大部分考生,难度比全国II卷试题低;全国II卷试题第(I)问利用斜率定义求解曲线方程,属于概念题型,大部分考生能够完成,但从第(II)问开始难度提高.整体上看,两道试题考查的目标与解题思路一致,都是考查曲线轨迹知识与解析几何相关知识,考查考生数学阅读水平,数形结合思想、推理论证能力和运算求解能力.除了题1相似外,笔者发现2012年湖北高考理科第21题也是此类题型,只是把x轴与y轴交换一下而已,试题如下:题2 (2012湖北理21)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点, l是过点A与x轴垂直的直线, D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m> 0且m=?1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(II)过原点且斜率为k的直线交C于P, Q两点,其中点P在第一象限,它在y轴上的射影为N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使对任意的k> 0,都有P Q⊥P H?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.点评题2引入参数,讨论轨迹方程,考查椭圆的定义与几何性质知识,考查考生分类讨论思想和运算求解能力.如图2,第(II)问在第(I)问的基础上,探究PQ⊥PH成立所需的值,虽然已知条件把x轴换成y轴,但是解题思路与全国II卷和江苏卷试题一脉相承,解题方法殊途同归.考查直线与椭圆位置关系的相关知识,考查考生数形结合思想、推理论证能力和运算

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