2018年高考数学全国Ⅲ卷理科题20(Ⅱ)的推广

作者:何佳佩;凌源;刘成龙 刊名:福建中学数学 上传者:王京

【摘要】1试题及简评试题(2018年高考全国Ⅲ卷·理20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x^2/4+y^2/3=1交于A;B两点.线段AB的中点为M(1;m)(m>0).

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10 福建中学数学 2019年第 1期 lnx a= , ln=y b, ln=z c ,从证明②的分子小于或 等于零便可引发这道题的变式. 2 变式和推广 变式 1 已知 0 < ≤ ≤x y z ,求证 2 2 2x y y z z x+ + ≤ 2 2 2xy yz zx+ + . 这里需作差后分解因式,可应用“主元法”,就是 以 x 为“主元”变形,证明过程如下: 证明 2 2 2 2 2 2( ) ( )x y y z z x xy yz zx+ + − + + 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )y z x z y x y z yz= − + − + − 2( )[ ( ) ]y z x y z x yz= − − + + ( )( )( )y z x y x z= − − − , 由于 0 < ≤ ≤x y z , 所以判断代数式值的正负性, ( )( )( )y z x y x z− − − 0≤ , 即 2 2 2 2 2 2+ + ≤ + +x y y z z x xy yz zx . 如果变式 1 中不等式的两边同时乘以 1 xyz ,就可 以得到这道题另一个变式. 变式 2 已知 0 < ≤ ≤x y z ,求证:x y z y y z x x + + ≥ + z x y z + . 自然地,对变式 2 中指数的研究就能得到如下 相应的推广 1. 推广 1 已知 0 < ≤ ≤x y z ,且 n是正整数,求证: ( ) ( ) ( )n n nx y z y z x y z x x y z + + ≥ + + . 证明 先证明 ( ) ( ) ( )n nx y z x y z y z x y z x + + ≥ + + , 由于算术-几何平均值不等式, 得 1 ( ) 1 3 x y z y z x + + ≥ . 运用幂平均不等式和指数函数的性质得: 1 1[( ) ( ) ( ) ] [ ( )] 3 3 n n n nx y z x y z y z x y z x + + ≥ + + 1 ( ) 3 x y z y z x ≥ + + , 所以 ( ) ( ) ( )n n nx y z x y z y z x y z x + + ≥ + + , 再结合变式 2 中的不等式 + + + +x y z y z x y z x x y z  , 得 ( ) ( ) ( )n n nx y z y z x y z x x y z + + ≥ + + . 应用类似的证明方法,还可以得到如下进一步 的推广 2: 推广 2 已知 0 < ≤ ≤x y z ,正整数m n, 满足:m ≥ n,求证: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m n n nx y z y z x y z x x y z + + ≥ + + . 同样地,可以得到推广 2 的如下变式 3,这是原 题(Ⅱ)的指数推广: 变式 3 设1< ≤ ≤a b c,正整数m n, 满足m n , 证明 (log ) (log ) (log ) (log ) (log )n n n m ma b c b cb c a a b+ + ≤ + (log )ma c+ . 对推广 2 和变式 3 的证明,就留给读者去思考. 2

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