2019年高考全国卷Ⅱ理科数学压轴题多解探析(无全文)

作者:向涛;甘大旺 刊名:高中数理化 上传者:

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【摘要】2019年高考理科数学全国卷Ⅱ由21道必考题和2道选考题所构成;其中最后一道必考题可称为“压轴题”.这道解析几何高考题出乎多数考生及其数学教师的预料;因为这是最近19年来高考理科数学试卷首次在最后一道必考题处重新考查解析几何问题;突破了多年形成的数学备考的“定式套路”.因此;本文着重讲评这道试题;以期对读者有启迪价值.

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􀅰高考全关注􀅰 2)选做题难度加大,既在意料之外,也是情理之 中,备考时要注意应对. 3)应用背景增多,这一点其实也应当在预期之 内,党的十九大报告、全国教育大会透露出的信息,均 要求教师和学生应当有更高的政治站位. 4)阅读能力要求提高. 应该说,上述变化打乱了学生复习的固有套路, 超出心理预期.但其实这些变化可以看作是回归数学 本源,不受社会舆论绑架的一种释放,更有助于考查 学生真正的学科素养,有助于人才选拔.比如选做题 对数学运算能力提出更高要求,统计压轴题对数据分 析能力提出更高要求,这都是很好的导向.学科能力 表现在客观题方面,直接影响解题速度和正确率.例 如理科16题,可以通过计算点A 和B 的坐标,利用 点A 是中点求出离心率,但若多考虑其几何性质,直 接得到渐近线斜率,就能快捷地找到相应双曲线的离 心率;又如理科第12题着重考查直观想象素养. 例6 已知三棱锥PGABC 的四个顶点在球O 的 球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三 角形,E,F 分别为PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则 球O 的体积为(  ). A 86π;  B 46π; C 26π; D  6π 方法1 设PA=x,则cos∠APC= PA2+PC2-AC2 2PA􀅰PC = x2+x2-4 2x2 = x2-2 x2 . 所以 CE2=PE2+PC2-2PE􀅰PC􀅰cos∠APC= x2 4+x 2-2􀅰 x 2 􀅰x􀅰 x2-2 x2 = x2 4+2. 因为∠CEF=90°,EF= 1 2PB= x 2 ,CF= 3,所 以CE2+EF2=CF2,即 x2 4+2+ x2 4=3 ,解得x= 2, 所以PA=PB=PC= 2. 又因为AB=BC=AC=2,故易知PA,PB,PC 两两相互垂直,所以三棱锥PGABC 的外接球的半径 为 6 2 ,三 棱 锥 PGABC 的 外 接 球 的 体 积 为 4 3π 􀅰 (6 2 )3= 6π,故选D. 方法2 根据题意,三棱锥PGABC 为正三棱锥, 于是PB⊥AC,又因为CE⊥EF,于是PB⊥CE,因 此PB⊥平面PAC,将四面体PGABC 对称地补成平 􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨 行六面体,即棱长为 2的正方体,其外接球直径d 为 该正方体的体对角线长,故d= 6,因此球O 的体积 为1 6πd 3= 6π,故选D. 总体看,2019年高考数学全国卷Ⅰ顺应国家发展 对人才培养的需要,发挥了考试评价在立德树人中的 作用,依纲据本,稳中有变,对学生能力要求较高,体现 “多想少算”的命题理念,有助于破解应试教育难题,使 刷题式复习备考之路越走越窄.当然,文科卷和理科卷 也都还存在一些不足,主要表现为试题表述不佳.如文 科和理科的第4题,学生会纠结于“咽喉”和“脖子下 端”、“腿长”和“肚脐至足底”的具体长度,最后只能凭 生活经验判断,而不是用数学方法解决问题,使得命题 失去意义.又如理科第22题应该表述为:“求C 的普通 方程和l的直角坐标方程”,因为题目所给方程本来就 是直角坐标方程,只不过是直角坐标系下的参数方程. 此意义之下,理论上学生给出l在直角坐标系下的参 数方程也是可以的. (作者单位:广东省深圳市高级中学) ◇ 湖北 向 涛1 浙江 甘大旺2(特级教师)   2019年高考理科数学全国卷Ⅱ由21道必考题和 2道选考题所构成,其中最后一道必考题可称为“压轴 题”.这道解析几何高考题出乎多数考生及

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