2018年高考全国课标Ⅰ卷理科第21题的多角度证明

作者:彭耿铃 刊名:中学生数理化:高二高三版 上传者:王壮伟

【摘要】2018年全国课标Ⅰ卷的理科第21题为导数解答题;形式上有“简约而不简单”之感;试题以常规的知识和方法为载体;挖掘了数学的学科本质;较好地考查了考生的综合能力和学科素养;有利于科学选拔创新人才;本文旨在探究此题型规律;揭示解题方法;提供解题规律;希望对读者以后参加高考大有帮助;

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2018年高考全国课标Ⅰ卷理科第21题的多角度证明 ■福建省泉州市第七中学 彭耿铃 2018年全国课标Ⅰ卷的理科第21题为 导数解答题,形式上有“简约而不简单”之感, 试题以常规的知识和方法为载体,挖掘了数 学的学科本质,较好地考查了考生的综合能 力和学科素养,有利于科学选拔创新人才。 本文旨在探究此题型规律,揭示解题方法,提 供解题规律,希望对读者以后参加高考大有 帮助。 原题 (2018年课标Ⅰ卷理科数学第21 题)已知函数f(x)= 1 x-x+aln x。 (1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存 在两个极值点x1,x2,证明: f(x1)-f(x2) x1-x2 <a-2。 解:(1)略。(2)由(1)知,当且仅当a>2 时f(x)存在两个极值点。由于f(x)的两个 极值点x1,x2 满足x2-ax+1=0,所以x1 +x2=a,x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2> 1。由 于 f(x1)-f(x2) x1-x2 = - 1 x1x2 -1+ a ln x1-ln x2 x1-x2 =-2+a ln x1-ln x2 x1-x2 =-2 +a -2ln x2 1 x2 -x2 ,所以f (x1)-f(x2) x1-x2 <a-2等 价于-2+a ln x1-ln x2 x1-x2 <a-2,即证明: ln x2-ln x1<x2-x1。 法一(构造函数法):要证明ln x2 x1 <x2- x1,即等价于证明 1 x2 -x2+2ln x2<0(x2> 1)。设函数g(x)= 1 x-x+2ln x(x>1),由 (1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1) =0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0。所 以 1 x2 -x2+2ln x2<0,即 f(x1)-f(x2) x1-x2 < a-2,证毕。 法二(利用对数均值不等式):要证明 ln x2-ln x1<x2-x1,即证明 x2-x1 ln x2-ln x1 >1,由对数均值不等式(当b>a>0时,b> a2+b2 2 > a+b 2 > b-a ln b-ln a > ab > 2 1 a+ 1 b >a)可得: x2-x1 ln x2-ln x1 > x2·x1 =1,证毕。 法三(转化法):因为x1+x2=a,x1x2= 1,不 妨 设 x1<x2,则0<x1<1,故 证 明 f(x1)-f(x2) x1-x2 < a - 2 等 价 于 证 明 f(x1)-f(x2) x1-x2 <x1+x2-2,即证明f(x1 ) -x21 + 2x1 > f(x2 )-x22 + 2x2 ,令h(x)= f(x)-x2+2x,则证明原不等式转化为证明 h(x1)>h(x2),即证明h(x1)>h 1 x1 (0< x1<1),令F(x1)=h(x1)-h 1 x1 (0<x1< 1),则: F (x1 ) = h (x1 )- h 1 x1 = f(x1)-x21+2x1 - f 1 x1 -1x21+2x1 = 1 x1 -x1+aln x1-x21+2x1 - x1- 1 x1 +aln 1 x1 - 1 x21 + 2 x1 = 2aln x1- x21+ 1 x21 =2(x1+x2)ln x1-x21+ 1 x21 = 2x1+ 1 x1 ln x1-x21+ 1 x21 =2x1+ 1 x1 ln

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