无穷电阻网格任意两节点之间的等效电阻

资源类型:pdf 资源大小:495.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:明亮

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【作者】 石新军 

【关键词】无穷电阻网络 节点 解析解 

【出版日期】2005-12-21

【摘要】利用二维傅里叶变换,求解了平面正方形无穷电阻网络任意两个不相邻节点之间的等效电阻的解析解,并推广引伸,用于其它类型的无穷电阻网络.

【刊名】商洛师范专科学校学报

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电阻网络等效电阻的计算,在实际应用和科研工作中都有很重要的意义,在电磁学和电工学教学 中,求解电阻网络的等效电阻也是一个常见问题,文献[l刊对于几种不同的网络结构都进行了讨论和求 解,但都局限于有限网络,并且对于不同网络结构运用不同的求解方法.本文利用二维平面的傅里叶变 换为手段,求解了平面正方形无穷电阻网络任意两个不相邻节点之间的等效电阻的解析解,并推广引 伸,用于其它类型的无穷电阻网络等效电阻的求解. 众所周知,对于各段电阻均为;的平面正方形无穷电阻 网络,利用其对称性,很容易求出相邻节点之间的等效电阻 为令.但对任意两个不相邻节点之间的等效电阻的解析解却 /,2‘一“’一‘~””’“、,一’一‘…~一,”切’切‘外一以’~”J’叮,盯’‘叮一l’ 较难计算.本文利用二维平面的傅里叶展开[1l,导出任意两个 不相邻节点之间的等效电阻的解析解. ,求解 为了方便描述网络结构,建立(如图l)今勺直角平面坐标 系,令所讨论的任意两节点A和B的坐标为A(0,0),A(m, n),其他各节点的坐标可一般表示为(k,l),期中m,n和k,l } l { } 厂 尸/ 少 「 l 「 叮 / (m,n) 图1平方形无究电阻网络乒刀直角平面坐标系 均为整数.设电流I(k,l)为流人节点的电流,考虑电流I从A点流人,稳定后电流从B点流出,则应有: {I,无=‘=0 I(“,‘)“}一I,“=m,‘=n) LO,k,l取其它值 把稳定后任意节点的电势记为V(k,l),则关于节点(k,l)的电流方程为: (l) I(k,l)= 与F(、 ,‘,一V“一,,‘,卜告:V(“,‘,一V‘“+‘,‘,卜 告。V‘“,‘卜V(‘,‘一‘,〕+告〔V(“,‘,一V(“,‘+‘,, (2) 若设法求出关于V(k,I)的线性非齐次无限方程组的解,则两点之间的等效电阻 R一于‘V(o,0,一V‘m,n,, (3) 便可得出. 非齐次方程(2)式的通解是其相应的齐次方程的通解与其一个特解之和.对于(2)式的齐次方程通 解,从数学上考虑,齐次方程实际是V(k,l)的递推关系,故其解应具有不定性,但从物理上考虑可将 (2)式齐次方程的解释为一概为零的情形,即它的表述是没有外电流流人和流出时网络节点的电势 分布.对此,可补充一个物理条件,即稳定后无源网络中电流流人消耗的功率必须为零.在图1的平面 网络中,由于各段电阻均不为零,若各节点之间有电势差,则网络中必有内电流,消耗的电功率便不为 零.因此在其诸多通解中,只能选取所有节点等电势的解,即 V‘,,(k,l)二V。(4) 对于(2)式非齐次方程的特解,可把其视为含参量a的方程组(5)在参量『冲1时的极限. }F“,‘’二命‘(‘,‘’·箭【y‘“一’,‘’·v“·’,‘’·F‘“,‘一‘’一“(“,‘·”’ LO下a下l (5) 为此寻求函数F(x,刃,令它在区间卜二,二;一二,司上能展开成二维傅里叶级数,且以V(k,l)为其 (k,l)傅里叶系数,即 F(:,,)=艺、(、,l)e““琦,(6) 式中艺表示对k,l分别从一ao到十ao求和.把(4)代人,得 F(二,,卜于艺I(k 斗几J 利用(l)式,得 ,‘,:‘“街’二务寺【V“一,,‘,·V“·,,‘,·V“,‘一,,一V“,‘·,,”“城’ (7) F(二,,)=禁[卜e“~,]+牛艺、(*+1)。‘,“·,‘·”+牛艺F(、一1,,)e““一,”,,,+ 咔什k,l片k.l 苛冬V‘“,‘一,,·‘,‘“’”、备冬v(‘·’,‘,·‘“,‘卜’” 考虑到求和是在无穷区间进行的,且已假定和数收敛于函数F(x’力,可在上式四个求和号中用 k,l代替k+l,k一l,l+l,l一l得 F(一,,二攀‘,一‘””‘苛耳V(‘,‘,(一‘,·““‘’+苛弄V“,‘,(·“·‘,·‘”’= 哥〔,一“一” 攀【‘一“一‘ ”+号‘。。Sx+一,,苛菩V“,‘,·““价’= ,]+号(cosx+cos,)‘(x,,) 故F(x,y)可表为 。,、rI r气x,yj=下r~ ‘ l一e‘(旅妇,) 2一a(eosx+eosy) (8) 对于0下呱1,有 V(0,O)产 V(m,n)户 命}一二{一二F(x,,,dxdr=命{一,!一二号恶恶dxdr 命臼二F(x,,)“、命自二瓮瓮牵恶、 非齐次方程组(2)式的特解可取为 尸2,(k,l)二linlV(k,l) ‘0,0,/命州袱姗默黯~二命自二姗烹渭了dxdr ‘爪,·)a=一斋州关瓮瓮牵恶二斋臼二姗恶恶,dxdr (9) 此(2)(2) 因阶厂、汗厂 把符合物理要求的齐次方程组得通解(4)与非齐次方程组得特解(9)相加,得出非齐次方程 (2)的通解为 V(0,0)二V‘’)(0,0)+V(2,(O,O) V(n;,r‘)==V‘”(m,n)+V‘2,(m,n) (10) 代人(3)式,得出 R一命自二苛蒜黯纷dxdr (11) 这就是平面正方形无穷网络任意节点之间等效电阻的解析解. 取熟知的R,户Rol=导来检验,由(10)式得出 乙 {“ 阵 r l卜万石三 l一eosx 一,2一(eosx一eo叮) dx方 护.,l.J!es. .IJ‘尹口l...eeJ 01一礴石乏 二丁盖器装不dxdy 由被积函数的对称性,应有RloRO,,以上两式相加,得R10+R。=书十!’{’、海二r.故确定R10+ 件门T一J币』一, Rol=合,可见,由(‘”)式得出的“10和R0l的结果与熟知的相符· 2讨论 上面应用于平面正方形无穷网络的傅里叶展开的方法,可推广引申,也可用于以下类型的电阻网 络. 2.1平面矩形无穷电阻网络 由均匀电阻丝连成的平面矩形无穷网络如图2所示.若每个矩形的长为a,宽为b,单位长度的电 阻为r0,则可类似地得出A、B两节点之间的等效电阻为 nab 几~二-二,--二,几 4下‘ 丁毕彭醉契典子*介 “卞U一“cu吕见一Ucosy少 (12) 值得一提的是,在a尹b的条件下,用单纯的对称性分析甚至无法算出R,。的值 B(m,n) Al一-石 图2平面矩形无穷电阻网络 2.2平面正三角形无穷电阻网络 对于这种网络,可将乒刀坐标取成如图3 丝的电阻仍为;,通过类似的推导可以得出 圈3平面正三角形无穷电阻网络 所示,任一节点的坐标仍用一对整数标定.设每段电阻 下 ︸ l苦月.卫. T一了 ︼4 R而二 l一eos(mx+ny) ,3一eosx一eosy-eos(x一) dx方 (13) 由(13)式计算几个例子,得出R,萨Rol二R 2.3平面正六边形无穷电阻网络 曰1一了 ,与简单对称分析得出的结果相符. 网络如图4所示,这种网络较难处理,计算也比较复杂麻烦.例 如,为求图中A、B之间或A、C之间或A、D之间的等效电阻,可先用 Y一△变换把正六边形无穷电阻网络转换成图虚线所示的正三角形网 络,从而可解.然而,若要求A、B’之间的等效电阻,则可发现经Y一△ 变换后,B‘点消失了.为此,可利用下述公式 R孟了=奇(R凡,R月,R月·)(14) 由R,砂R,沙RA。求得R斌(14)式成立是显然的,利用电势叠加原 图4平面正六角形无穷电阻网络 理即可证明. 2.4三维立方体无穷电阻网络 熟悉前面的推导后,对三维立方体无穷电阻网络即可写出 {’{’{ 6门T一J一,J一介J ,1一eos(mx+ny+七) 一二3一eosx一eosy一eosz dxdy山 (15) 由此,可算出预期的结果 ;。;二*。1*R】*合 相比较二维正方形网络,当m丹二时,发散.在三维正方形网络中,(0,O,0)点与无穷远点之间的等 效电阻却是收敛的,这是因为不难证明积分 !二!二{二 3一eosx一eosy一eo, 击办山 (16) 是有限的. 依照上述方法,可以得出一维直线网络中节点A(0)与B(0)之间的等效电阻为 R。二 1一cos袱 l一eosx dx=二}’( 门T JO 塑卫里卫竺)zdx (17) 下 一 !l口 r一阮 而傅里叶早在200多年前已经得出{:( 翌塑卫竺)adx二m二,因此R产Inr,与预期的结果一致.由于R产 mr是从物理上可以简单判定的,故可用它反过来得出傅里叶积分,的确颇为有趣.无穷电阻网格任意两节点之间的等效电阻@石新军$武警广州指挥学院数理教研室!广东广州 510440利用二维傅里叶变换,求解了平面正方形无穷电阻网络任意两个不相邻节点之间的等效电阻的解析解,并推广引伸,用于其它类型的无穷电阻网络.无穷电阻网络;;节点;;解析解[1]江超.梯形电阻网络的研究[J].大学物理,2000,19(3):3. [2]张小溪.规则连接的电阻、电容网络的数学模型[J].大学物理,1999,18(2):2. [3]姚东来,吴银忠.无规则电阻网络的等效电阻.大学物理,2003,22(3):9-11. [4]吴秀芳,柳涛.用费波那契数列计算规则连接的电阻、电容网络的等效值[J].大学物理,1997,16(10):9. [5]Krzysztof Giaro.A network of Resistors in Young Physicists Rearsearch Paper[M].Warazawa:Instytut Fizyki pan,1998.27-34.

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